数学分析函数极限无穷大量与无穷小量(编辑修改稿)

数学分析函数极限无穷大量与无穷小量(编辑修改稿)内容摘要：

  因而 f (x)不是 x 时的无穷大量 . 有.0)(,)(  nn yfxf两个无穷大量也可以定义阶的比较 . 设 .)(l i m)(l i m00  xgxf xxxx返回 后页 前页 的高阶是关于则称若 )()(,0)( )(0xfxgxg xfxx无穷大量 . 使和正数若存在正数 ,.2 KL,),( 0 时xUx ,)( )( Kxg xfL 则称 f (x) 与 g (x) 是当 x  x0 时的一个同阶无穷 大量 . 是与则称若 )()(,1)( )(0xgxfxg xfxx当 x  x0 时 返回 后页 前页 的等价无穷大量， 记为.,)(~)( 0xxxgxf 下述定理反映了无穷小量与无穷大量之间的关系 , 直观地说：无穷大量与无穷小量构成倒数关系 . 定理 (1) 若 f 为 xx0 时的无穷小量 , 且不等于零 , 则 为f1 .0 时的无穷大量xx 返回 后页 前页 证 这里仅证明定理的 (1) . 对于任意正数 G , 因为 有时当 ,||0 0  xx,)(1,1|)(| GxfGxf  即这就证明了 .)(1lim0 xfxx时为则时的无穷大量为若 00 1,)2( xxgxxg 的无穷小量 . f 为 x  x0 时的无穷小量， 所以存在 ,0 使得 返回 后页 前页 .)()(lim0 xgxfxx.2 |||)(| bxf 又因为 ,)(l i m0 xgxx 所以对于任意正数 G，存在 ,||0,0 202 时当   xx.|| 2|)(| Gbxg 证 由极限的保号性 , ,0)(lim0 bxfxx因为 存在有时当 ,||0 10  xx,01 例 7 ,)(l im,0)(l im00  xgbxf xxxx设 求证 返回 后页 前页 有时当令 ,||0,},m in { 021   xx,|| 22 |||)()(| GGbbxgxf .)()(lim0 xgxfxx注 对于函数 有时当 ,0,1)(,)(  xxxgxxf.1)()(lim 0  xgxfx这就说明了当 b = 0 时结论不一定成立 . 即 返回 后页 前页 例 8 存在证明时的无界量为设 :.)( 0xxxf 使得, 00 xxxx nn 都存在,0  使得时当 ,||0, 0   xxx.|)(| Gxf ,1||0,1,1 01111 时当对  xxxG 。 1|)(| 1 xf.)(lim  nn xf证 ，为无界量时因为 )(0 xfxx 所以 ,0G返回 后页 前页。 2|)(| 2 xf............。 |)(| nxf n .)(lim  nx xf,21||0,21,2 02222 时当对  xxxG ,1||0,1, 0 时当对 nxxxnnG nnnn  由此得到一列 ，满足 且 , 00 xxxx nn }{ nx............返回 后页 前页 注 例 8的证明虽然有些难度，但它却提供了选取 法 , 对提高解题能力是有益处的 . 符合要求的点列的一种方法 . 熟练地掌握这种方 返回 后页 前页 四、渐近线 作为函数极限的一个应用，我们来讨论曲线的渐 在中学里我们已经知道双曲线的 标准方程为 ,12222 byax它的渐近线方程为 .xaby xabyxaby 12222  byaxo xy近线问题 . 返回 后页 前页 下面给出渐近线的一般定义 . 定义 4 设 L 是一条直线 , 若曲线 C 上的动点 P 沿 曲线无限远离原点时 , 点 P 与 L 的距离趋于零，则 称直线 L 为曲线 C 的一条渐近线 (如图 ). bkxy PNML )( xfy C xyO返回 后页 前页 .1)(|c o s||||| 2k bkxxfPMPN   由渐近线的定义， 或时 (x  xx ,01)(lim 2   kbkxxfx即时） ,0, PN首先 , 我们来看如何求曲线 的斜渐近线 . )( xfy 如图所示 , 设斜渐近线 L 的方程为 .bkxy  曲 线上的动点 至直线 L 的距离为 ),( yxP返回 后页 前页 从而 .])([l i m kxxfb x  又 xkxxfkxxfxx )(lim)(lim,0lim  xbx所以， .)(lim x xfkx 返回 后页 前页 这样就确定了斜渐近线的两个参数： ,)(lim x xfkx  .])([lim kxxfbx  这是沿 x 轴正向的渐近线的方程 . 显然沿 x 轴负向 ,)(lim x xfkx  .])([lim kxxfb x  。