数学分析之定积分(编辑修改稿)

数学分析之定积分(编辑修改稿)内容摘要：

[ , ] ,f b b界 设 在 上的振幅为 则.2)(2)(   mMmM,...: 110    bxxxaT n使 .2Tii x 则存在分割 [ , ]f a b 由于 在 上连续, [ , ]M m f a b其 中 与 分 别 为 在 上 的 上 确 界 与 下 确令 ,...: 10 bxxxaT n  则  Tii x   Tii x.22  [ , ] .f a b由 可 积 准 则 , 在 上 可 积例 2 证明黎曼函数 1, ( , ) ,()0 , 0, 1 ( 0, 1 )px p qqqRxx  互 素及 中 的 无 理 数[0 , 1]在 上可积 ,且 10 ( ) d 0 .R x x 证 10 , [ 0 , 1 ] 2q  在 中满足  的有理数 pr q只有有限多个 ,设它们为 12 [ 0 , 1 ]{ , , , } .kr r r 对作分割 01: 0 1 ,nT x x x    .2T k使 12{ , , , }kT r r r中含 的小区间至多有 2k 个 ,记为  .i 因此这些小区间长度之和为 Δ     i由于在  12{ , , , } { } .kiT r r r 中不含 的区间记为   ii x    iiii xx   ii xx 221 .22  0 ( ) ,2Rx 上 于是 .2 i 从而 ( ) .Rx这 就 证 明 了 的 可 积 性( ) ,Rx由于已证得 可积 而且无理数具有稠密性,1[ , ] ( 1 , 2 , , )i i ix x i n因此可取 皆为无理数,10 0 1( ) d l i m ( ) Δ 0.niiTiR x x R x 从而作业 习题 2 167。 4 定积分的性质 一、定积分的性质 本节将讨论定积分的性质 ,包括定积分 的线性性质、关于积分区间的可加性、积 分不等式与积分中值定理 , 这些性质为定 积分研究和计算提供了新的工具 . 二、积分中值定理 [ , ] ( ) d ( ) d .bbaaa b k f x x k f x x在 上也可积，且 证 ( ) d .baJ f x x记   [ , ] ,f a b由 在 上可积 故一、定积分的性质 10, 0, [ , ] ,i i iT x x         当 时, 对一切1() Δ .1niiif x Jk从而 性质 1 k 为常数 , 则 k f 若 f 在 [ a,b ] 上可积， 11() Δ () Δnni i i iiik f x k J k f x J  因此 [ , ] ,k f a b在 可 积 .d)(d)(   baba xxfkxxkf且性质 2 , [ , ] ,f g a b若 在 上可积 [ , ]f g a b则 在 上可积 , 且 ( ( ) ( ) ) d ( ) d ( ) d .b b ba a af x g x x f x x g x x    证 12 ( ) d , ( ) d .bbaaJ f x x J g x x    记 于是 0 ,10, [ , ] , 1 , 2, , ,i i iT x x i n        当 时，.1k k  11() Δ ,2niiif x J  21() Δ .2niiig x J 从而 121[ ( ) ( ) ] Δ ()ni i iif g x J J  1211() Δ () Δnni i i iiif x J g x J   .22   因此， f 177。 g 在 [ a, b ] 上可积 , 且 性质 3 , [ , ] [ , ]f g a b f g a b若 在 上 可 积 ， 则 在 上证 , [ , ] [ , ]f g a b a b因 在 上可积，故在 上都有界,0 , [ , ] , ( ) , ( ) .M x a b f x M g x M即      0, , Δ。 2fiiTTx M存 在 分 割 使 又 存 在 分  Δ .2giiTTx M割 ， 使 ( ( ) ( ) ) d ( ) d ( ) d .b b ba a af x g x x f x x g x x    .也可积TTT 令 ( T T T 表 示 把 与 的 所 有 分 割 点 合并而成的新分割 ), 则  su p ( ) ( ) ( ) ( ) , Δfgiif x g x f x g x x x        su p ( ) ( ) ( )g x f x f x  ( ) ( ) ( ) , Δ if x g x g x x x      .gifi MM  于是  TigiTifiTifgi xMxMx  TigiTifi xMxM .22   MMMM[ , ] [ , ]f a c c b在 与 上都可积. 此时且有( ) d ( ) d ( ) db c ba a cf x x f x x f x x  0 , [ , ] [ , ] ,a c c b T T     与 上分割 与 使得因此 f g 在 [ a, b] 上可积 . 性质 4 f 在 [a, b]上可积的充要条件是 : ),( bac 证 (充分性 ) 若 f 在 [a, c] 与 [c, b] 上可积 ,则 .2,2    TiiTii xx , [ , ] ,T T T a b令 它是 的一个分割 .   TiiTiiTii xxx (必要性 ) [ , ] , 0 , ,f a b T  已知 在 上可积 则因此 , f 在 [a, b] 上可积 . Δ .iiTx使  在 T上加入分点 c 得到新的分割 .T由 167。 3习题第 1题 , 知道 Δ Δ .ii iiTTxx   [ , ] [ , ] ,T a c c b分割 在 和 上的部分 分别构成对Δ Δ , Δ Δ .i i i i i i i iTTx x x x                  , [ , ]c T a c T 为 其 中 一 个 分 点 则 在 的 部 分 构 成[ , ] [ , ] [ , ]a c c b T c b对 的分割, 在 的部分 构成对 的 因此， f 在 [a, c] 与 [c, b]上都可积 . 若 f 在 [a, b] 上可积 ,由必要性证明 ,若分割 T 使点 [ , ] [ , ] ,a c c b T T和 的分割, 记为 和 则  () Δ () Δ () Δ ., i i i i i iT T Tf x f x f x  分 割 且    0 , 0 , 0 ,T T T令 则 即得   ( ) d ( ) d ( ) d .b c ba a cf x x f x x f x x  ( ) d ( ) d ( ) d .b c ba a cf x x f x x f x x  性质 5 [ , ] , ( ) d a b f x x若 在 上 非 负 、 可 积 则 证 ( ) d aJ f x x若  0 , 0 , ,JT     对ab若规定 时 注 ( ) d ( ) d ,baf x x f x xab时, , ,a b c则对 的任何大小顺序 恒有( ) d 0,ba f x x 因此 ,0)(1JJxfniii ( ) 0 , Δ  这 与 矛 盾推论 , [ , ] , ( ) ( ) ,f g a b f x g x x若 在 上可积 且 证 ( ) ( ) ( ) 0 , [ , ] ,F x g x f x x a b   设 则() Δ .iiTf x J J    ],[ 1 iii xx  ,d)(d)(d)(0   bababa xxfxxgxxF( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x[ , ],ab 则 若 f 在 [a, b] 上可积 ,则 | f |在 [a, b] 上 也 性质 6 ( ) d ( ) d .bbaaf x x f x x证 [ , ] , 0,f a b 因 为 在 上 可 积,T 使 得. ( ) ( ) ( ) ( ) ,fiiTx f x f x f x f x          由1su p { ( ) ( ) , [ , ] }fi i if x f x x x x x      1su p { ( ) ( ) , [ , ] } .fi i if x f x x x x x       ( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x即 可积 ,且 Δ Δ , [ , ]f fi i i iTx x f a b  故 即 在 上 可 积 .( ) ( ) ( ) ,f x f x f x且由于 得到  ( ) d ( ) d ( ) d ,b b ba a af x x f x x f x x    因此证得 ( ) d ( ) d .bbaaf x x f x x例 1 ( ) ( ) [ , ] , ( ) ( ) ,f x g x a b f x g x设 和 在 上 连 续0 0 0[ , ] , [ , ] , ( ) ( ) ,x a b x a b f x g x且存在 使 则  ( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x证 00( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0 ,g x f x g x f x且 不妨设   00( , ) [ , ] ,x x x a b当时   001( ) ( ) [ ( ) ( ) ] .2g x f x g x f x  由连续函数的局部保号性质 , 0,0 ( , ) .x a b由此推得  [ ( ) ( ) ] dba g x f x x   000[ ( ) ( ) ] d [ ( ) ( ) ] dxxaxg x f x x g x f x x  0 [ ( ) ( ) ] dbx g x f x x00[ ( ) ( ) ] dxx g x f x x 00( ) ( ) 22g x f x ( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x00[ ( ) ( ) ] 0 ,g x f x   即 ( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x, [ , ]f g a b由 在 上可注 2 ( ) ( ) , [ , ] ,f x g x x a b若积,可得注 1 ,fg例 1 中 条 件 与 的 连 续 性 可 减 弱 为 :[ , ] , ( ) ( ) , [ , ] ,f g a b f x g x x a b和 在 上 可 积 且0 0 0[ , ] , ( ) ( ) ,f g x a b f x g x存 在 和 的 连 续 点 使( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x则二、积分中值定理 定理 ( 积分第一中值定理 ) [ , ] , [ , ] ,f a b a。