幂零矩阵迹的特征(编辑修改稿)

幂零矩阵迹的特征(编辑修改稿)内容摘要：

 的一组基，则 i V ， 于是有 iiA  ，1,2, ,ik . 在下面的证明中，我们将证明存在 A 的属于  的一个特征向量  ，使  也 是 B的一个特征向量，即存在某数  使 B  成立，从而  为 A 与 B 的公共特征向量 . 由于 12, , , k   为 V 的一组基，设 1 1 2 2 kkc c c      （ 1） 由 iiA  ，则 ( ) ( ) ( ) ( )i i i iA B B A B B       ，即得 iBV ， 1,2, ,ik .则有 ijlC ， , 1,2, ,i j k ，使得 1 1 1 1 2 1 2 12 1 2 1 2 2 2 21 1 2 2kkkkk k k k k kB l l lB l l lB l l l                     下步将寻找不全为零的 12, , , kc c c ，使（ 1）成立，并且使  为 A 与 B 的公共特征向 量 . 1 1 2 2()kkB B c c c      1 1 2 2 kkc B c B c B      1 1 1 1 2 1 2 1 1 1( ) ( )k k k k k k kc l l l c l l            1 1 1 1 1 1 1( ) ( )k k k k k k kl c l c l c l c       而 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( )k k k kc c c c c                由 B  及 12, , , k   线性无关，得 1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2kkkkk k k k k kl c l c l c cl c l c l c cl c l c l c c            （ 2） 即 1 1 1 1 11kk kk k kl l c cl l c c                    ， 记  ij kkLl，即得 11kkccLcc               ， 也即   1 00kcLc                  （ 3） 当 0L  时，上式有非 0 解，此式说明  是 L 的特征值 .命题 1 证毕 . 命题 1 证明了 A 与 B 有公共的特征向量，通过定理 1 的证 明，我们还看出， 对于 A 的任一特征值，属于该特征值的所有特征向量中，一定存在 B 的特征向量 .于是有推论： 推论 1 若复方阵 ,AB满足 AB BA ，且 A 有 r 个互不相同的特征值，则 A 与B 至少有 r 个线性无关的公共特征向量 . 证明 设 12, , , r   是 A 的 r 个互不相同的特征值，按照定理 1 的证明，在 A的每个特征子空间iV中都存在 B 的特征向量 i ， 1,2, ,ir ，而属于不同特征值的特征向量必线性无关，得 12, , , r   是 A 与 B 的 r 个线性无关的公共特征向量 . 推论 2 若 n 阶复方阵 ,AB满足 AB BA ，且 A 有 n 个互不相同的特征值，则存在可逆矩阵 P ，使得 1PAP 与 1PBP 都是对角矩阵 . 证明 由推论 1 知 A 与 B 有 n 个线性无关的公共特征向量 12, , , n   ，作矩阵12( , , , )nP    ，则 1PAP 与 1PBP 都是对角矩阵 . 下面，我们通过例子说明如何用定理 1 中方法求出可换矩阵所有的公共特征向量 . 例 1 求可换矩阵 ,AB所有的公共特征向量 . 3 0 01 3 12 0 1。