导数及其应用复习资料(编辑修改稿)

导数及其应用复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

＝ sinx2 － cosx2 ＝－ 12sin x， ∴ y′ ＝  － 12sin x ′ ＝－ 12(sin x)′ ＝－ 12cos x. (4)y＝ 11－ x＋ 11＋ x＝ 1＋ x＋ 1－ x1－ x1＋ x＝ 21－ x， ∴ y′ ＝  21－ x ′ ＝ － 21－ x′1－ x2 ＝ 21－ x2. (1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础． (2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导． 【训练 2】 求下列函数的导数： (1)y＝ xnex； (2)y＝ cos xsin x； (3)y＝ exln x； (4)y＝ (x＋ 1)2(x－ 1)． 解 (1)y′ ＝ nxn－ 1ex＋ xnex＝ xn－ 1ex(n＋ x)． (2)y′ ＝ － sin2x－ cos2xsin2x ＝－1sin2x. (3)y′ ＝ exln x＋ ex1x＝ ex 1x＋ ln x . (4)∵ y＝ (x＋ 1)2(x－ 1)＝ (x＋ 1)(x2－ 1)＝ x3＋ x2－ x－ 1， ∴ y′ ＝ 3x2＋ 2x－ 1. 考向三 求复合函数的导数 【例 3】 ►求下列复合函数的导数． (1)y＝ (2x－ 3)5； (2)y＝ 3－ x； (3)y＝ sin2 2x＋ π3 ； (4)y＝ ln(2x＋ 5)． [审题视点 ] 正确分解函数的复合层次，逐层求导． 解 (1)设 u＝ 2x－ 3，则 y＝ (2x－ 3)5， 由 y＝ u5与 u＝ 2x－ 3 复合而成， ∴ y′ ＝ f′ (u)u′ (x)＝ (u5)′ (2x－ 3)′ ＝ 5u42 ＝ 10u4＝ 10(2x－ 3)4. (2)设 u＝ 3－ x， 则 y＝ 3－ x. 由 y＝ u12与 u＝ 3－ x 复合而成 ． y′ ＝ f′ (u)u′ (x)＝ (u12)′ (3－ x)′ ＝ 12u－ 12(－ 1) ＝－ 12u－ 12＝－ 12 3－ x＝ 3－ x2x－ 6 . (3)设 y＝ u2， u＝ sin v， v＝ 2x＋ π3， 则 yx′ ＝ yu′ uv′ vx′ ＝ 2ucos v2 ＝ 4sin 2x＋ π3 cos 2x＋ π3 ＝ 2sin 4x＋ 2π3 . (4)设 y＝ ln u， u＝ 2x＋ 5，则 yx′ ＝ yu′ ux′ y′ ＝ 12x＋ 5(2x＋ 5)′ ＝ 22x＋ 5. 由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把 复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程． 【训练 3】 求下列函数的导数： (1)y＝ x2＋ 1； (2)y＝ sin22x； (3)y＝ e－ xsin 2x。 (4)y＝ ln 1＋ x2. 解 (1)y′ ＝ 12 x2＋ 12 x＝ xx2＋ 1， (2)y′ ＝ (2sin 2x)(cos 2x) 2＝ 2sin 4x (3)y′ ＝ (－ e－ x)sin 2x＋ e－ x(cos 2x) 2 ＝ e－ x(2cos 2x－ sin 2x)． (4)y′ ＝ 11＋ x2 12 1＋ x22 x＝ x1＋ x2. 规范解答 6—— 如何求曲线上某一点的切线方程 【问题研究】 利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题 .这类问题最容易出现的错误就是分不清楚所求切线所过的点是不是切点而导致错误 ., 【解决方案】 解这类问题的关键就是抓住切点 .看准题目所求的是 “ 在曲线上某点处的切线方程 ” 还是 “ 过某点的切线方程 ” ，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程 . 【 示例 】 ►(本题满分 12 分 )(2020山东 )已知函数 f(x)＝ ln x－ ax＋ 1－ ax － 1(a∈ R)． (1)当 a＝－ 1 时，求曲线 y＝ f(x)在点 (2， f(2))处的切线方程； (2)当 a≤ 12时，讨论 f(x)的单调性． (1)求出在点 (2， f(2))处的斜率及 f(2)，由点斜式写出切线方程； (2)求 f′ (x)，再对 a 分类讨论． [解答示范 ] (1)当 a＝－ 1 时， f(x)＝ ln x＋ x＋ 2x－ 1， x∈ (0，＋ ∞ )．所以 f′ (x)＝ x2＋ x－ 2x2 ， x∈ (0，＋ ∞ )， (1 分 ) 因此 f′ (2)＝ 1，即曲线 y＝ f(x)在点 (2， f(2))处的切线斜率为 1. 又 f(2)＝ ln 2＋ 2， 所以曲线 y＝ f(x)在点 (2， f(2))处的切线方程为 y－ (ln 2＋ 2)＝ x－ 2，即 x－ y＋ ln 2＝ 0.(3 分 ) (2)因为 f(x)＝ ln x－ ax＋ 1－ ax － 1，所以 f′ (x)＝ 1x－ a＋ a－ 1x2 ＝－ ax2－ x＋ 1－ ax2 ， x∈ (0，＋ ∞ )． (4 分 ) 令 g(x)＝ ax2－ x＋ 1－ a， x∈ (0，＋ ∞ )． ① 当 a＝ 0 时， g(x)＝－ x＋ 1， x∈ (0，＋ ∞ )， 所以当 x∈ (0,1)时， g(x)＞ 0， 此时 f′ (x)＜ 0，函数 f(x)单调递减； 当 x∈ (1，＋ ∞ )时， g(x)＜ 0，此时 f′ (x)＞ 0，函数 f(x)单调递增； (6 分 ) ② 当 a≠ 0 时，由 f′ (x)＝ 0， 即 ax2－ x＋ 1－ a＝ 0，解得 x1＝ 1， x2＝ 1a－ 1. a．当 a＝ 12时， x1＝ x2， g(x)≥ 0 恒成立，此时 f′ (x)≤ 0，函数 f(x)在 (0，＋ ∞ )上单调递减； (7 分 ) b．当 0＜ a＜ 12时， 1a－ 1＞ 1＞ 0. x∈ (0,1)时， g(x)＞ 0，此时 f′ (x)＜ 0，函数 f(x)单调递减； x∈  1， 1a－ 1 时， g(x)＜ 0，此时 f′ (x)＞ 0，函数 f(x)单调递增； x∈  1a－ 1，＋ ∞时， g(x)＞ 0，此时 f′ (x)＜ 0，函数 f(x)单调递减； (9 分 ) c．当 a＜ 0 时，由于 1a－ 1＜ 0， x∈ (0,1)时， g(x)＞ 0，此时 f′ (x)＜ 0，函数 f(x)单调递减； x∈ (1，＋ ∞ )时， g(x)＜ 0，此时 f′ (x)＞ 0，函数 f(x)单调递增． (11 分 ) 综上所述： 当 a≤ 0 时，函数 f(x)在 (0,1)上单调递减， 函数 f(x)在 (1，＋ ∞ )上单调递增； 当 a＝ 12时，函数 f(x)在 (0，＋ ∞ )上单调递减； 当 0＜ a＜ 12时，函数 f(x)在 (0,1)上单调递减， 函数 f(x)在  1， 1a－ 1 上单调递增， 函数 f(x)在  1a－ 1，＋ ∞ 上单调递减． (12 分 ) 求解切线问题的关键是切点坐标，无论是已知切线斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点 的关键所在． 第 2 讲 导数的应用 (一 ) 【高考会这样考】 1．利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间． 2．由函数单调性和导数的关系，求参数的范围． 【复习指导】 本讲复习时，应理顺导数与函数的关系，理解导数的意义，体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用，重点解决利用导数来研究函数的单调性及求函数的单调区间． 基础梳理 1．导数的几何意义 函数 y＝ f(x)在 x＝ x0处的导数 f′ (x0)是曲线 y＝ f(x)在点 (x0， f(x0))处切线 l 的 斜率，切线 l 的方程是 y－ f(x0)＝ f′ (x0)(x－ x0)． 2． 导数的物理意义 若物体位移随时间变化的关系为 s＝ f(t)，则 f′ (t0)是物体运动在 t＝ t0时刻的 瞬时速度． 3． 函数的单调性 在 (a， b)内可导函数 f(x)， f′ (x)在 (a， b)任意子区间内都不恒等于 0. f′ (x)≥ 0⇔ 函数 f(x)在 (a， b)上 单调递增 ； f′ (x)≤ 0⇔ 函数 f(x)在 (a， b)上 单调递减． 易误警示 直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线； 反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点． 两个条件 (1)f′ (x)＞ 0 在 (a， b)上成立是 f(x)在 (a， b)上单调递增的充分条件． (2)对于可导函数 f(x)， f′ (x0)＝ 0 是函数 f(x)在 x＝ x0处有极值的必要不充分条件． 三个步骤 求函数单调区间的步骤： (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求导数 f′ (x)； (3)由 f′ (x)＞ 0(f′ (x)＜ 0)解出相应的 x 的范围． 当 f′ (x)＞ 0 时， f(x)在相应的区间上是增函数；当 f′ (x)＜ 0 时， f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间． 双基自测 1． (2020山东 )曲线 y＝ x3＋ 11在点 P(1,12)处的切线与 y轴交点的纵坐标是 ( )． A．－ 9 B．－ 3 C． 9 D． 15 解析 由已知 y′ ＝ 3x2，则 y′ |x＝ 1＝ 3 切线方程为 y－ 12＝ 3(x－ 1)， 即 y＝ 3x＋ 9. 答案 C 2． (2020烟台模拟 )函数 f(x)＝ x2－ 2ln x 的递减区间是 ( )． A． (0,1] B． [1，＋ ∞ ) C． (－ ∞ ，－ 1)， (0,1) D． [－ 1,0)， (0,1] 解析 函数的定义域为 (0，＋ ∞ )， 又 f′ (x)＝ 2x－ 2x＝ 2x＋ 1x－ 1x 由 f′ (x)≤ 0，解得 0＜ x≤ 1. 答案 A 3． (2020长沙一中月考 )若点 P 是曲线 y＝ x2－ ln x 上任意一点，则点 P 到直线 y＝ x－ 2 的最小值为 ( )． A． 1 B. 2 C. 22 D. 3 解析 由已知 y′ ＝ 2x－ 1x，令 2x－ 1x＝ 1，解得 x＝ y＝ x2－ ln x 在 x＝ 1 处的切线方程为 y－ 1＝ x－ 1，即 x－ y＝ x－ y＝ 0， x－ y－ 2＝ 0 之间的距离为 d＝ 22＝ 2. 答案 B 4． (人教 A 版教材习题改编 )在高台跳水运动中， t s 时运动员相对水面的高度 (单位： m)是 t1(t)＝－ ＋ ＋ 10，高台跳水运动员在 t＝ 1 s 时的瞬时速度为________． 答案 － m/s 5．函数 f(x)＝ x3－ 3x2＋ 1 的递增区间是 ________． 解析 f′ (x)＝ 3x2－ 6x＝ 3x(x－ 2)， 由 f′ (x)＞ 0 解得 x＜ 0，或 x＞ 2. 答案 (－ ∞ ， 0)， (2，＋ ∞ ) 考向一 求曲线切线的方程 【例 1】 ►已知函数 f(x)＝ x3－ 4x2＋ 5x－ 4. (1)求曲线 f(x)在 x＝ 2 处的切线方程； (2)求经过点 A(2，－ 2)的曲线 f(x)的切线方程． [审题视点 ] 由导数几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点． 解 (1)f′ (x)＝ 3x2－ 8x＋ 5 f′ (2)＝ 1，又 f(2)＝－ 2 ∴ 曲线 f(x)在 x＝ 2 处的切线 方程为 y－ (－ 2)＝ x－ 2，即 x－ y－ 4＝ 0. (2)设切点坐标为 (x0， x30－ 4x20＋ 5x0－ 4) f′ (x0)＝ 3x20－ 8x0＋ 5 则切线方程为 y－ (－ 2)＝ (3x20－ 8x0＋ 5)(x－ 2)， 又切线过 (x0， x30－ 4x20＋ 5x0－ 4)点， 则 x30－ 4x20＋ 5x0－ 2＝ (3x20－ 8x0＋ 5)(x0－ 2)， 整理得 (x0－ 2)2(x0－ 1)＝ 0， 解得 x0＝ 2，或 x0＝ 1， 因此经过 A(2，－ 2)的曲线 f(x)的切线方程为 x－ y－ 4＝ 0，或 y＋ 2＝ 0. 首先要分清是求曲线 y＝ f(x)在某处的切线还是求过某点曲线的切线． (1)求曲线 y＝ f(x)在 x＝ x0处的切线方程可先求 f′ (x0)，利用点斜式写出所求切线方程； (2)求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再写切线 方程． 【训练 1】 若直线 y＝ kx 与曲线 y＝ x3－ 3x2＋ 2x 相切，试求 k 的值． 解 设 y＝ kx 与 y＝ x3－ 3x2＋ 2x 相切于 P(x0， y0)则 y0＝ k。