复变函数与积分变换留数(编辑修改稿)

复变函数与积分变换留数(编辑修改稿)内容摘要：

   i2解： 1z 在 内 ：z = 0为一级极点。 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换1]0),([Re s11)( 10210 1   zfCzzzfnn例 5 计算积分 1210 1 2: | |11CzI dzzz, C 为正向圆周z | =1/2 . 阶极点为 1010,)1( 1)( 2101  zzzzf解： 01z在 内 ： 原式 2Ii复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换*167。 1Re s[ ( ) , ] ( ) d2 Cf z f z zi  111Re s[ ( ) , ] ( ) d ( ) d22CCf z f z z f z z Cii      f (z)在圆环域 R|z|内解析： 理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。 C   nnnf z c z  Czzfi d)(π2 1的值与 C无关 , 称其为 f (z)在 点的留数 , 记作 设函数 f(z)在圆环域 R|z|内解析 ,C为圆环域内绕原点的 任何一条简单闭曲线 , 则积分 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换这就是说 ,f(z)在 点的留数等于它在 点的去心邻 R|z|+内洛朗展开式中 z1 的系数变号 . R e s [ ( ) , ]fz注 ： 当 为 可 去 奇 点 时 ， 不 一 定 为 零 .( ) L a u r e nf z z 在 1 + 内 展 开 为 级 数 ：    2211111111111zzzzzzzz1]),([sRe 1  Czf1R e s [ ( ) , ] 1f z C      1( ) ,1fz z例 如 为 可 去 奇 点。 1( ) ,fzz再 如 为 可 去 奇 点 ,复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换111R e s [ ( ) , ] R e s [ ( ) , ] ( ) d ( ) d 0 .2 π 2 πnkk CCf z f z z f z z f z zii     定理二 如果 f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点 ,那么f(z)在所有各奇点 (包括 点 )的留数总和必等于零 . 证：除 点外 ,设 f(z)的有限个奇点为 zk(k=1,2,...,n).且 C为一条绕原点的并将 zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单闭曲线 , 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义 , 有 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换规则 4 211R e s[ ( ) , ] R e s , 0f z fzz   事实上 , 在无穷远点的留数定义中 , 取正向简单闭曲线 C为半径足够大的正向圆周 : | z |=  . 令1z , 并设 z =  ei ,  = rei , 那么1, ddr         , 于是有 1201R e s[ ( ) , ] ( )21()2Ciif z f z dzif e ie di   复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换202201121 1 1()2 ( )iiiiiifdi r e r ef d r ei r e r e 21||1 1 1 1| | .2fdi              为 正 向 211R e s , 0fzz ( 由于 f ( z ) 在  | z | +  内解析 , 从而 1f在10 | |内解析 . ) 所以规则 4 成立 . 定理二与规则 IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又 一种方法 , 在很多情况下 , 它比利用上一段中的方法更简便 . 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换例 6  。