复变函数与积分变换洛朗级数(编辑修改稿)

复变函数与积分变换洛朗级数(编辑修改稿)内容摘要：

内 展 开 成 洛 朗 级 数解 ：由 1332 3 4321 1 1 1e ( 1 )2 ! 3! 4 !110.2 ! 3! 4 !              zzzz z z zzz z zz23e1 2 ! 3 ! !nz z z zzn      复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换注意 : 一个函数 f ( z ) 可以在奇点展开为洛朗级数， 也可在非奇点展开。 函数可以在以 z0为中心的 (由奇点隔开的 )不同圆环域内解析 , 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式 (包括泰勒展开式作为它的特例 ). 我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆 . 所谓洛朗展开式的唯一性 , 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的 . 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换 例如在 z=i和 z=i处将函数 展 为洛朗级数。 12()()ifzz z i 在复平面内有两个奇点 : z=0与 z=i,分别在以i为中心的圆周 : |zi|=1与 |zi|=2上 . 因此 ,f(z)在以 i为中心的圆环域 (包括圆域 )内的展开式有三个 : 1)在 |zi|1中的泰勒展开式。 2)在 1|zi|2中的洛朗展开式。 3)在 2|zi|+中的洛朗展开式。 O i i 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换i0在复平面内有一个奇点 : z=0在以 i为中心的圆周 :|z+i|=1上 . 因此 , f (z)在以 i为中心的圆环域内的展开式有二个 : 1)在 0|z+i|1中的洛朗展开式。 2)在 1|z+i|+中的洛朗展开式。 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换特别的，当洛朗级数的系数公式 101 ( ) d . ( 0 , 1 , 2 , )2 π ()n nCfiz     1n  时 ， 有 CdzzfiC )(2 11  12)(   CidzzfC （即可利用 Laurent系数计算积分） 其中 C为圆环域 R1|zz0|R2内的任何一条简单闭曲线 ,f(z)在此圆环域内解析。 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换例３     rzz zz dzzze0 0 301)(求积分内解析，在   03010)()( 0 zzzzezf zz 0L au r en t 1C系数其12 0 .iC   解： 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换例 4 21l n 1 .zdzz  求 积 分   zznznnn1)1(11ln1111  C  解： 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换例 5 求积分 1| | 2d1zzzezz . 解： 函数1()1zzefzz在 1 | z | +  内解析 , | z | = 2 在此圆环域 内 , 把它在圆环域内展开得 12221 1 1 1 1( ) 1 11 2!1251.2zf z ez z z zzzz                    。