高考理科数学导数的应用复习资料(编辑修改稿)

高考理科数学导数的应用复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

   31 • 令 f ′(x)=0，则 x=1或 x=2. • 所以当 x＜ 1时， f ′(x)＞ 0。 • 当 1＜ x＜ 1时， f ′(x)＜ 0。 • 当 x＞ 1且 x≠2时， f ′(x)＞ 0. • 因为 x=1时函数无意义，根据极值点的特 • 点知 x=1是 f(x)的极大值点， • 即［ f(x)］极大值 =f(1)=34， • 且 f(x)无极小值 . 32 • 点评： 利用导数求函数的极值的步骤是：① 求导函数； ② 解方程 f ′(x)=0； ③ 判断 f ′(x)在 f ′(x)=0的根 x0左右的符号 ， 若左负右正 ， 则此点为极小值点；若左正右负 ， 则此点为极大值点；若左右同号 ， 则非极值点 .若是求函数在闭区间上的最值 ， 则先求极值 ， 然后与两端点值进行比较可得最值 . 33 求函数 f ( x ) ＝ x3－ 2 x2＋ 1 在区间 [ － 1 , 2 ]上的最大值与最小值 ． 34 解： f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 4 x ＝ 3 x ( x －43) ． 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，则 x ＝ 0 或 x ＝43. 35 当 x ∈ [ － 1 , 0 ) 时， f ′ ( x ) ＞ 0 ；当 x ∈ ( 0 ，43) 时， f ′ ( x ) ＜ 0 ；当 x ∈ (43， 2 ] 时， f ′ ( x ) ＞ 0. 所以 [ f ( x )] 极小值 ＝ f (43) ＝－527， [ f ( x )] 极大值 ＝ f ( 0 ) ＝ 1. 又 f ( － 1 ) ＝－ 2 ， f ( 2 ) ＝ 1 ， 所以 [ f ( x )]m ax＝ 1 ， [ f ( x )]min＝－ 2. 36 题型 5 利用导数转化极值与最值条件 • 2. 设 a为实常数，已知函数 f(x)=(x2+ax+a)ex • 有极小值 0，求 a的值 . • 解： f ′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+a)(ex) • =ex［ x2+(a2)x］ . • 令 f ′(x)=0，则 x2+(a2)x=0， • 所以 x=0或 x=2a. • (1)当 a=2时， f ′(x)=exx 2≤0， • 所以 f(x)无极值 . 37 • (2)当 a＜ 2时，在 (∞， 0)上， f ′(x)＜ 0。 • 在 (0， 2a)上， f ′(x)＞ 0。 • 在 (2a， +∞)上， f ′(x)＜ 0. • 所以［ f(x)］极小值 =f(0)=， a=0. • (3)当 a＞ 2时，在 (∞， 2a)上， f ′(x)＜ 0。 • 在 (2a， 0)上， f ′(x)＞ 0。 • 在 (0， +∞)上， f ′(x)＜ 0. • 所以［ f(x)］ 极小值 =f(2a).由已知， f(2a)=0. • 所以 (2a)2+a(2a)+a=0，解得 a=4. • 综上分析， a=0或 a=4. 38 • 点评： 函数有极值的必要条件是： f ′(x)=0， 由此可转化得到相应的等式或方程 ， 再进一步转化为所需要的条件 .需要注意的是在此条件下得到的结论要检验一下是否为极值 . 39 • 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1处的切线为 l:3xy+1= x= 时， y=f(x)有极值 . • (1)求 a,b,c的值； • (2)求 y=f(x)在［ 3， 1］上的最大值和最小值 . • 解： (1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c, • 得 f ′(x)=3x2+2ax+b. • 当 x=1时，切线 l的斜率为 3，可得 2a+b=0。 ① • 当 x= 时， y=f(x)有极值，则 f ′( )=0, • 即 4a+3b+4=0.② 23232340 • 由①②解得 a=2,b=4. • 由于切点的横坐标为 x=1,所以 f(1)=3 1+1=4. • 所以 1+a+b+c=4,所以 c=5. • (2)由 (1)可得 f(x)=x3+2x24x+5, • 所以 f ′(x)=3x2+4x4. • 令 f ′(x)=0,得 x=2,x= . • 当 x变化时， y,y′的变化情况如下表： 2341 • 所以 y=f(x)在［ 3， 1］上的最大值为13，最小值为 . x 3 (3,2) 2 (2， 23) ( ， 1) 1 y′ + 0 0 + y 8 ↗ 13 ↘ ↗ 4 23239527952742 • 1. 函数的极值是一个局部性概念 ， 它反映出函数在某个局部的最大值和最小值情况 .一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值 ， 且极大值与极小值之间没有必然的大小关系 ， 即某个极大值可能小于另一个极小值 . • 2. 若函数 f(x)在区间 ［ a， b］ 内连续 ， 且有有限个极值点 ， 则 f(x)在这个区间内的极大值点与极小值点是交替出现的 (如正弦曲线 ). 43 • 3. 可导函数在极值点的导数一定为 0， 但导数为 0的点 (称为驻点 )不一定是极值点 (例如 ，函数 f(x)=x3在 x=0处的导数是 0， 但它不是极值点 )， 不可导的点可能是极值点 (例如 ， 函数 f(x)=|x|在 x=0处不可导 ， 但它是极小值点 )，因此 ， 函数的极值点只能在导数为 0的点和不可导的点中产生 . 44 • 4. 函数的最值是一个整体性概念 ， 它反映函数在整个区域 (或定义域 )内的最大值和最小值情况 ， 函数 f(x)有极值未必有最值 ， 反之亦然 .极值与最值是两个不同的概念 . • 5. 若 f(x)在闭区间 ［ a， b］ 上连续且单调 ， 则f(x)的最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得；若连续函数 f(x)在开区间 (a， b)内只有一个极值点 ， 则该点也是一个最值点 . 45 • 6. 求可导函数在定义域内的极值的一般步骤是： • (1)求 f ′(x)， 令 f ′(x)=0， 求此方程在定义域内的所有实根 . • (2)检查 f ′(x)在方程 f ′(x)=0的根左右取值的符号 .如果左正右负 ， 那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正 ， 那么 f(x)在这个根处取得极小值 . 46 • 7. 求可导函数在闭区间上的最值 ， 只要在求极值的基础上 ， 再与区间端点的函数值做出比较就能得出结论 .在实际问题中 ， 有时会遇到函数在开区。