高考数学直线和圆的方程考点归纳(编辑修改稿)

高考数学直线和圆的方程考点归纳(编辑修改稿)内容摘要：

（ ，） . l 的倾斜角为 30 ， 2 60l 的 倾 斜 角 为 ，2  反射光线 2l 所在的直线方程为 2 3 ( 2 3 )yx   . 即 3 4 0xy   . 已知圆 C 与 1lA切 于 点 ， 设 C（ a,b), 圆心 C 在过点 D 且与 l 垂直的直线上， 38ba   ,又圆心 C 在过点 A 且与 1l 垂直的直线上，33a , 3 8 1ba     ，圆 C 的半径 r=3， 故所求圆 C 的方程为 22( 3 3 ) ( 1) 9xy   . （ 2）设点  0, 4B  关于 l 的对称点 00( , )B x y ，则00004 32 3 24 3yxyx    ， 得 ( 2 3,2)B  ,固定点 Q 可发现，当 B P Q、 、 共线时， PB PQ 最小， 故 PB PQ 的最小值为 3 2 21 3BC   .此时由1 3 321 2 3 3 333yxyx    ,得 31( , )22P . 【反馈练习】 x2+y24x=0 在点 P(1, 3 )处的切线方程为 3 2 0xy   l 过点 ），（ 02 ，当直线 l 与圆 xyx 222  有两个交点时，其斜率 k 的取值范围是224（ ， ）4 m0,则直线 2 (x+y)+1+m=0 与圆 x2+y2=m 的位置关系为 相切或相离 解析：圆心到直线的距离为 d= 21 m ,圆半径为 m . ∵ dr=21 m m =21(m2 m +1)=21( m 1)2≥ 0,∴直线与圆的位置关系是相切或相离 . (x3)2+(y3)2=9上到直线 3x+4y11=0的距离等于 1的点有个数为 3 P 从 (1,0)出发 ,沿单位圆 122 yx 逆时针方向运动32弧长到达 Q 点 ,则 Q 的坐标为 )23,21( 04122  mxyx与直线 1y 相切，且其圆心在 y 轴的左侧，则 m 的值为 34 P 为圆 122 yx 上的动点，则点 P 到直线 01043  yx 的距离的最小值为 1 . 002 4 0xyxy  恰好被面积最小的圆 2 2 2: ( ) ( )C x a y b r   及其内 部所覆盖． (1)试求圆 C 的方程 . (2)若斜率为 1的直线 l 与圆 C 交于不同两点 ,.AB满足 CA CB ,求直线 l 的方程 . 解 :(1)由题意知此平面区域表示的是以 (0 , 0 ), ( 4 , 0 ), (0 , 2 )O P Q构成的三角形及其内部 ,且△ OPQ 是直角三角形 , 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆 ,故圆心是 (2,1),半径是 5 ,所以圆 C 的方程是22( 2 ) ( 1) 5xy   . (2)设直线 l 的方程是 :y x b. 因为 CA CB , 所以圆 心 C 到直线 l 的距离是 102 , 即22| 2 1 | 10211b  解得 : 15b  .所以直线 l 的方程是 : 15yx   . 2020 高中数学 精讲精练 第 九 章 圆锥曲线 【 知识 图解】 圆锥曲线 双曲线 椭圆 几何性质 定义 几何性质 标准方程 定义 标准方程 圆锥曲线应用 定义 标准方程 【 方 法点拨 】 解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。 而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。 研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。 它的方程形式具有代数的特性，而它的 图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。 高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。 圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。 1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质 . ，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力 . ，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视 . 、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程 第 1 课 椭圆 A 【考点 导读 】 1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形 ,掌握椭 圆的标准方程 ,会求椭圆的标准方程 ,掌握椭圆简单的几何性质。 2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题 . 【基础 练习 】 1． 已知△ ABC 的顶点 B、 C 在椭圆 2 2 13x y上，顶点 A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ ABC 的周长是 43 14 22  yx 的离心率为 23 ，一个焦点为 F（－ 2 3 ， 0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是 22116 4xy 抛物线 几何性质 4. 已知椭圆 198 22  ykx 的离心率21e，则 k 的值为 544kk 或 【 范例导析 】 例 1.（ 1） 求经过点 35( , )22，且 229 4 45xy与椭圆 有共同焦点的椭圆方程。 （ 2） 已知 椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的 3倍，点 P（ 3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。 【 分析 】 由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位 ,即确定椭圆的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量 a、 b、 c 的方程组，解方程组求得 a、 b 的值。 ③写出方程 . 解 ：（ 1） ∵椭圆焦点在 y 轴上，故设椭圆的标准方程为 221yxab（ 0ab ）， 由椭圆的定义知， 2 2 2 23 5 3 5 3 12 ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) 1 0 1 0 2 1 02 2 2 2 2 2a           ， ∴ 10a ，又∵ 2c ，∴ 2 2 2 10 4 6b a c    ， 所以，椭圆的标准方程为 22110 6yx。 （ 2）方法一：①若焦点在 x轴上，设方程为  22 10xy abab   ， ∵点 P（ 3,0）在该椭圆上∴29 1a即 2 9a 又 3ab ， ∴ 2 1b ∴椭圆的方程为 2 2 19x y. ②若焦点在 y轴上，设方程为  22 10yx abab   ， ∵点 P（ 3,0）在该椭圆上∴29 1b即 2 9b 又 3ab ，∴ 2 81a  ∴椭圆的方程为 22181 9yx 方法二：设椭圆方程为  22 1 0 , 0 ,A x B y A B A B    .∵点 P（ 3,0）在该椭圆上∴ 9A=1，即 19A ,又 3ab ∴ 11 81B 或 ， 2 81a  ∴椭圆的方程为 2 2 19x y或 22181 9yx. 【 点拨 】 求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点 在 x轴上，设方程为  22 10xy abab   ，若焦点在 y轴上，设方程为  22 10yx abab   ，有时为了运算方便，也可设为 221Ax By，其中 0, 0,A B A B. 例 A、 B 分别是椭圆 12036 22  yx 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，且位于x 轴上方， PFPA。 （ 1）求点 P 的坐标； （ 2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的 一点， M 到直线 AP 的距离等于 ||MB ，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值。 【 分析 】 ①列方程组求得 P 坐标；②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点坐标的范围 . 解：（ 1）由已知可得点 A(－ 6,0),F(0,4) 设点 P(x ,y ),则 AP =（ x +6, y ） ,FP =（ x － 4, y ） ,由已知可得 22213 6 2 0( 6 )( 4 ) 0xyx x y     则 2 2x +9x － 18=0, x =23或 x =－ 6. 由于 y 0,只能 x =23 ,于是 y = 235 . ∴ 点 P 的坐标是 (23 , 235 ) (2) 直线 AP 的方程是 x － 3 y +6=0. 设点 M(m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是 26m . 于是 26m = 6m ,又－ 6≤m ≤6,解得 m =2. 椭圆上的点 (x ,y )到点 M 的距离 d 有 2 2 2 2 2 25 4 9( 2) 4 4 20 ( ) 159 9 2d x y x x x x          , 由于－ 6≤m ≤6, ∴ 当 x =29 时 ,d 取得最小值 15 点拨 :本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题 . 【反馈练习】 222 kyx 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是 （ 0， 1） F 、 F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△ F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 21 312 22 yx  =1 的焦点为 F1和 F2，点 P 在椭圆上 .如果线段 PF1 的中点在 y 轴上，那么 |PF1|是 |PF2|的7 倍 2215xym的离心率 105e ,则 m 的值为 253 3或 5.．椭圆 134 22  yx 的右焦点到直线 xy 3 的距离为 32 22143xy具有相同的离心率且过点（ 2， 3 ）的椭圆的标准方程是 22186xy或2234125 25yx新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/:/新疆 1416 22  yx 上的点到直线 022  yx 的最大距离是 10 8. 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为 354 和 352 ，过 P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 分析： 讨论椭圆方程的类型，根据题设求出 a 和 b （或 2a 和 2b ）的值．从而求得椭圆方程． 解： 设两焦点为 1F 、 2F ，且 3541 PF， 3522 PF． 从椭圆定义知 522 21  PFPFa ．即 5a ． 从 21 PFPF  知 2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在 12FPFRt 中，21sin 1221  PFPFFPF， 可求出 621  FPF，3526c o s2 1  PFc，从而 310222  cab ． ∴所求椭圆方程为 11035 22  yx 或 15103 22  yx ． 第 2 课 椭圆 B 【考点 导读 】 1. 掌握椭圆的第二定义 ,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题。 2. 能解决椭圆有关的综合性问题 . 【基础 练习 】  22 161 0 6xy mmm   与曲线  22 1 5 959xy nnn    的（ D） A 焦点相同 B 离心率相等 C 准线相同 D 焦距相等 11625 22  yx 上的点 A 到右焦点的距离等于 4,那么点 A 到两条准线的距离分别是 20203， 3 离心率 35e ，一条准线为 3x 的椭圆的标准方程是 229 15 20xy 【 范例导析 】 例 12222  byax （ ab0）的二个焦点 F1(c， 0)， F2(c， 0)， M是椭圆上一点，且 021  MFMF。