高级计量经济学线性回归经典假设的分析(编辑修改稿)

高级计量经济学线性回归经典假设的分析(编辑修改稿)内容摘要：

差的来源主要是因为随着解释变量值的增大，被解释变量取值的差异性增大。 二、异方差引起的后果 我们从简单线性回归模型入手，讨论异方差对参数估计的影响，然后再针对一般回归线性模型进行讨论。 对模型 () 当 ，为异方差时（ 是一个随时间或序数变化的量），回归参数估计量仍具有无偏性和一致性。 针对 而言 iii XY   102)( iiεV a r  2i1ˆ1212121)()()())(])()[(())())((()ˆ(XXEXXXXXXXXEXXYYXXEEiiiiiiiiii() 但是回归参数估计量不再具有有效性，即 1 1 12222222222222ˆ ˆ( ) ( )()()()( ) ( )( ( ) )()( ( ) )()iiiiiiiiiiVar EXXEXXX X EXXXXXXXX  () 在 ()和 ()式的推导中利用了 的非序列相关的假定。 ()式不等号左侧项分子中的 不是一个常量，不能从累加式中提出，所以不等号左侧项不等于不等号右侧项。 而不等号右侧项是同方差条件下 1的最小二乘估计量 的方差。 因此异方差条件下的 失去有效性。 另外回归参数估计量方差的估计是真实方差的有偏估计量，即 E( ( ))  iε2i1ˆ1ˆVar1ˆ )ˆ(1Var针对一般线性回归模型（ ）式 , 因为 OLS估计量无偏性的证明只依赖于模型的一阶矩，所以当 以（ ）式所示时， OLS估计量 仍具有无偏性和一致性，即 () 但不具有有效性和渐近有效性。 )(εVarβˆβεXXXβεX βXXXYXXXβ)()()]()(])[()ˆ(111EEEEεX βY 而且 的分布将受到影响，即 () 由（ ）式知异方差条件下 是非有效估计量。 异方差性的存在，会对线性回归模型正确的建立和统计推断带来严重的后果，因此在计量经济分析中，有必要检验模型是否存在异方差。 βˆ11112 1 121ˆ ˆ ˆ( ) [( )( ) ][( ) ( ) ]( ) ( ) ( )( ) ( )()V a r EEE        β β β β βX X X X X XX X X Xε εε ε XXX X X Ω X X XXXβˆ 异方差性的检验 一、定性分析异方差 二、戈德菲尔德－昆茨检验 三、格莱泽检验 四、怀特检验 五、自回归条件异方差检验 一、定性分析异方差 定性分析异方差的角度很多，我们可以根据实际建立模型依据的经济理论和实际经济现象来分析是否存在异方差性，一般情形经济变量规模差别很大时容易出现异方差，如个人收入与支出关系，投入与产出关系。 另外，我们也可以利用散点图（图 ）和 残差图（图 ），来初步判断异方差的存在性。 01002003000 5 0 0 0 1 0 0 0 0 1 5 0 0 0 2 0 0 0 0XY图 散点图 二、戈德菲尔德－昆茨检验 戈德菲尔德－昆茨（ GoldfeldQuandt）检验方法是戈德菲尔德－昆茨于 1965年提出的，所要检验的问题为 H0: 具有同方差 H1: 具有递增型异方差 iεiε其检验的基本思想是： 第一，把原样本分成两个子样本。 具体方法是把成对（组）的观测值按解释变量的大小顺序排列，略去 m个处于中心位置的观测值（通常 n  30时，取 m n/4 ，余下的 n m个观测值自然分成容量相等 (n m) / 2的两个子样本）。 X1, X2, …, Xi 1, Xi, Xi+1, …, Xn 1, Xn } n1 = (nm) / 2 m = n / 4 n2 = (nm) / 2 第二，用两个子样本分别估计回归直线，并计算残差平方和。 相对于 n2 和 n1 分别用 SSE2 和 SSE1表示。 第三，构建 F统计量 F = = ， （ k为模型中被估参数个数） 在 H0成立条件下， F  ),( 12 knknF )/()/(1122knS SEknS SE12SSESSE 第四，判别规则如下， 若 F  , 接受 H0 （ ut 具有同方差） 若 F , 拒绝 H0 （递增型异方差） 这里我们应该注意到，当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。 此法的基本思路也适用于递减型异方差。 另外，对于截面样本，计算 F统计量之前，必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。 ),( 12 knknF ),( 12 knknF 三、格莱泽检验 格莱泽（ Glejser）检验的基本思想是，检验   是否与解释变量 Xi存在函数关系。 若存在函数关系，则说明存在异方差；若无函数关系，则说明不存在异方差。 通常应检验的几种形式是   = a0 + a1 Xi   = a0 + a1 /Xi   = a0 + a1, …. iˆiˆiˆiˆ格莱泽检验的特点是不仅能对异方差的存在进行判断，而且还能对异方差随某个解释变量变化的函数形式进行诊断。 该方法既可检验递增型异方差，也可检验递减型异方差。 应该注意，当原模型含有多个解释变量值时，可以把   拟合成多变量回归形式。 iˆ四、怀特检验 怀特（ White）检验由 H. White 1980年提出。 戈德菲尔德－昆茨检验必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。 格莱泽检验通常要试拟合多个回归式。 White检验不需要对观测值排序，也不依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造 统计量进行异方差检验。 2怀特检验的具体步骤如下。 以二元回归模型为例， Yi = 0 +1 X i1+2 Xi2 + () 第一，首先对上式进行 OLS回归，求残差。 并做如下辅助回归式， = 0+1Xi1+2Xi2+3Xi12+4Xi22+5Xi1Xi2 + vi () 即用 对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行 OLS回归。 注意，上式中要保留常数项。 求辅助回归 ()式的可决系数R2。 iεiˆ2ˆi2ˆi 第二，怀特检验的零假设和备择假设是 H0: ()式中的 不存在异方差， H1: ()式中的 存在异方差 第三，在不存在异方差假设条件下统计量 nR 2   2(5) () 其中 n表示样本容量， R2是辅助回归 () 式的OLS估计式的可决系数。 自由度 5表示辅助回归() 式中解释变量项数。 iεiε 第四，判别规则是 若 n R 2  2 (5), 接受 H0 （ 具有同方差） 若 n R 2 2 (5), 拒绝 H0 （ 具有异方差） 怀特检验的特点是，不仅能够检验异方差的存在，同时在多变量的情况下，还能够判断出是哪一个变量引起的异方差，通常适用于截面数据的情形。 该方法不需要异方差的先验信息，但要求观测值为大样本。 iεiε五、自回归条件异方差检验 异方差的另一种检验方法称作自回归条件异方差 (auto regressive conditional heteroscedasticity ) 检验，简称为 ARCH检验。 这种检验方法不是把原回归模型的随机误差项 i 2 看作是 Xi 的函数，而是把 i 2 看作误差滞后项 ， ， … 的函 数。 ARCH是误差项二阶矩的自回归过程。 恩格尔（ Engle 1982）针对 ARCH过程提出 LM检验法。 21iε22iε辅助回归式定义为 = 0 + 1 + … +  n , () LM统计量定义为 ARCH = n R 2   2(m) 其中 R 2是辅助回归式（ ）的可决系数。 在 H0： 1 = … = m = 0 成立条件下， ARCH渐近服从  2(m) 分布。 2ˆi 2ˆtu 21ˆi2ˆ ni 2ˆmtuARCH检验的最常用形式是一阶自回归模型（ m = 1）， = 0 + 1 . 在这种情形下， ARCH渐近服从  2(1) 分布。 ARCH检验的特点是，要求变量的观测值是大样本，并且是时间序列数据；它只能判断模型中是否存在异方差，而不能诊断出是哪一个变量引起的异方差。 2ˆtu21ˆ tu 广义最小二乘法及异方差性的克服 为了进一步从理论上掌握克服异方差的方法，更好的开拓建立计量经济模型的思路，这里我们将详细的介绍广义最小二乘法的基本理论和方法，然后讨论异方差的克服。 一、广义最小二乘法 设模型为 其中 E( )= 0， = E( ) =  2 已知。 因为 I，违反了线性回归模型的经典假定条件，所以应该对模型进行适当修正。 因为 是一个 n阶正定矩阵，根据线性代数的知识，必存在一个非退化 nn 阶矩阵 M使下式成立。 = I nn 从（ ）式得 = 1 εX βY  () () () ε )(εVar εε ΩΩ ΩΩMM Ω MM Ω用 M左乘 ()式回归模型两侧。