高考数学三角函数考点归纳(编辑修改稿)

高考数学三角函数考点归纳(编辑修改稿)内容摘要：

件件件 数系的扩充与 复数的引入 复数的概念 复数的运算 数系的扩充 O A P Q B a b 第 4 题 【 方 法点拨 】 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。 所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。 从高考新课程卷来看，对向量的考查 力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。 复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。 1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用 . 2. 平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表 示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合 . 3. 向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决 . 4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法 . 第 1 课 向量的概念及基本运算 【考点 导读 】 1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示 . 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义 . 3. 了解平面向量基本定理及其意义 . 【基础 练习 】 ： ① 若 ab，则 ab； ② 若 A、 B、 C、 D 是不共线的四点， 则 DCAB 是四边形为平行四边形的充要条件； ③ 若 ,a b b c ，则 ac； ④ ab的充要条件是 ab且 //ab； ⑤ 若 //ab，//bc，则 //ac。 其中，正确命题材的序号是 ② ③ 2. 化简 AC BD CD AB 得 0 ABCD 中， AB =a+2b， BC =－ 4a－ b， CD =－ 5a－ 3b，其中 a、 b 不共线，则四边形 ABCD 为梯形 ，设点 P、 Q 是线段 AB 的三等分点， 若 OA＝ a， OB ＝ b，则 OP ＝ 2133ab， OQ ＝ 1233ab (用 a、 b 表示 ) 【 范例导析 】 例 1 .已知任意四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、 F， 求证： 2AB DC EF . 分析 :构造三角形 ,利用向量的三角形法则证明 . 证 明：如图，连接 EB 和 EC ， 由 EA AB EB和 EF FB EB可得， EA AB EF FB   （ 1） 由 ED DC EC和 EF FC EC可得， ED DC EF FC   （ 2） （ 1） +（ 2）得， 2E A E D A B D C E F F B F C      （ 3） ∵ E、 F 分别为 AD 和 BC 的中点， ∴ 0EA ED， 0FB FC， 代入（ 3）式得， 2AB DC EF 点拨 :运用向量加减法解决几何问题时 ,需要发现或构造三角形或平行四边形 . 例 ,OAOB 不共线， OP aOA bOB,求证： A,P,B 三点共线的充要条件是 1ab 分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明 . 解：先证必要性：若 A,P,B 三点共线，则存在实数  ，使得 AP AB ,即  O P O A O B O A  ,∴ 1,O P O A O B  ∵ OP aOA bOB,∴ 1,ab   ，∴  再证充分性：若  则 AP OP OA=   1a O A b O B b O B O A   =bAB ,∴ AP 与 AB 共线，∴ A,P,B三点共线 . 点拨 :向量共线定理是向量知识中的一个基本定理 ,通常可以证明三点共线、直线平行等问题 . 【 反馈练习 】 1．已知向量 a和 b反向，则下列等式成立的是（ C） A. |a|－ |b|=|a－ b| B. |a|－ |b|=|a+b| C.|a|＋ |b|=|a－ b| D. |a|＋ |b|=|a+b| ABCD 中，有 1 ,2D C A B A D B C则这个四边形是（ C） A、 B、 C、 D、 O是平面上的任意五点，试化简： ① AB BC CD， ② DB AC BD， ③ OA OC OB CO   。 D C E F A B 例 1 解析：①原式 = ()A B B C CD A C CD A D    ； ②原式 = ( ) 0D B B D A C A C A C    ； ③原式 = ( ) ( ) ( ) 0O B O A O C CO A B O C CO A B A B         。 x 为未知向量， a 、 b 为已知向量， x 满足方程 2x (5a +3x 4b )+21 a3b =0， 则 x = 92ab（用 a 、 b 表示） OABC 中， O A , O B , O C , Da b c  为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，则 OE = 1 1 12 4 4a b c（用 a， b， c 表示） 6 如图平行四边形 OADB 的对角线 OD,AB 相交于点 C，线段 BC上有一点 M 满足 BC=3BM,线段 CD上有一点 N 满足 CD＝ 3CN,设 O A , O B , , O M , O N , M Na b a b 试 用 表 示 解：    1 1 1 1 1B M = B C= B A , B M = B A = O A O B =3 6 6 6 6 ab 15O M = O B+ B M 66ab   . ODCDONCDCN 3234,31     2 2 2O N = O D = O A + O B3 3 3 ab   11MN = O N O M 26ab   第 2 课 向量的数量积 【考点 导读 】 1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义 . 2. 掌握平面向量数量积的性质及运算律 . 3. 掌握平面向量数量积的坐标表达式 . 4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题 . 【基础 练习 】 ,ab均为单位向量，它们的夹角为 060 ，那么 3ab13 xOy 中， ,ij分别是与 x 轴， y 轴平行的单位向量，若直角三角形 ABC 中， 2AB i j ，3AC i kj ，则 k 的可能值 个数为 2 个 3. 若 1a , 2b ， a 与 b 的夹角为 060 ， 若 (3 +5 )ab ()ma b ，则 m 的值为 238 | | 1, | | 2 ,   a b c a b，且 ca，则向量 a 与 b 的夹角为 120176。 【 范例导析 】 第 6 题 例 a 与 b 的夹角为 0120 ，若 2 , 3   c a b d b a，试求 c 与 d 的夹角的余弦值。 分析 :利用 2 2aa及 cos abab求解 . 解：由题意， 1ab ，且 a 与 b 的夹角为 0120 ，所以， 1c os 12 02    a b a b，   2 222 2 4 4 7          c c c a b a b a a b b7c ，同理可得 2 4 13  d b ac 而 cd 22 17( 2 ) ( 3 ) 7 3 2 2        a b b a a b b a，设  为 c 与 d 的 夹 角 ， 则1 7 1 7 9 1c o s 1822 7 1 3     点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。 例 a 、 b 、 c 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120176。 ， （ 1）求证： ()ab⊥ c ；（ 2）若 | | 1  ka b c )( Rk ， 求 k 的取值范围 . 分析 :问题（ 1）通过证明 ( ) 0  a b c 证明 ()a b c ,问题（ 2）可以利用   22||    k a b c k a b c 解：（ 1）∵ | | | | | | 1  a b c ，且 a 、 b 、 c 之间的夹角均为 120176。 ， ∴ 00( ) | | | | c o s 1 2 0 | | | | c o s 1 2 0 0        a b c a c b c a c b c ∴ ( ) 0  a b c （ 2）∵ | | 1  ka b c ，即 2| | 1  ka b c 也就是 2 2 2 2 2 2 2 1        k a b c k a b k a c b c ∵ 12      a b b c a c，∴ 022  kk 所以 0k 或 2k ． 解 :对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决 . 例 ，在直角△ ABC 中，已知 BC a ，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问 BCPQ与 的夹角 取 何值时 CQBP 的值最大。 并求出这个最大值新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/ 分析 :本题涉及向量较多 ,可通过向量的加减法则得 ( ) ( )B P CQ A P A B A Q A C    ,再结合直角三 角形和各线段长度特征法解决问题 解： , 0 .A B A C A B A C    , , ,( ) ( )A P A Q B P A P A B CQ A Q A CB P CQ A P A B A Q A C           222222()1212c o s .AP AQ AP AC AB AQ AB ACa AP AC AB APa AP AB ACa PQ BCa PQ BCaa                          2c o s 0 , ( ) , . .2 P Q B C B P CQ a   故 当 即 与 方 向 相 同 时 最 大 其 最 大 值 为 点拨 :运用向 量的方法解决几何问题 ,充分体现了向量的工具性 ,对于大量几何问题 ,不仅可以用向量语言加以叙述 ,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解 ,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算 . 【 反馈练习 】 a,b 满足 1 4 , 2a = , b a b且 , 则 a 与 b 的夹角为 3 ，在四边形 ABCD 中， | | | | | | 4 ,A B B D D C     0,AB BD BD D C         4|||||||| DCBDBDAB ，则   ACDCAB )( 的值为 4 a,b 满足 =1a =b ,a,b 的夹角为 60176。 ，则 aa+ab =32 1 2 , 2a = , b a b且 ,则 ab+ 6 | a|=4,|b|=5,|a+b|= 21 ,求：① a b ；② (2a－ b) (a+3b) 解：（ 1） |a+b|2=（ a+b） 2=a2+2ab+b2=|a|2+2a b+|b|2，∴ 2 2 2 102a b a bab      （ 2）（ 2a－ b）（ a+3b） =2a2+5a b－ 3b2=2|a|2+5a b－ 3|b|2=2 42+5（－ 10）－ 3 52=－ 93. a 与 b 都是非零向量 ，且 a+3b 与 7a5b 垂直， a－ 4b 与 7a－ 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角 . 解：∵且 a+3b 与 7a5b 垂直， a－ 4b 与 7a－ 2b 垂直， ∴（ a+3b）（ 7a5b） =0，（ a－ 4b）（ 7a－ 2b） =0。