高级微观经济学消费最优化(编辑修改稿)

高级微观经济学消费最优化(编辑修改稿)内容摘要：

斯需求函数 ( i = 1,2, ,)。 显然，希克斯需求映射具有下述三条性质： 零阶齐次性 ： 对任何 ( p, x) 及实数 t 0，都有 h( t p, x) = h( p, x)。 效用不变性： 对任何 ( p, x)， h( p, x) ~ x。 反向变动性： 对任何 ( p, x), (q, x)， ( p  q)( h( p, x)  h( q, x))  0。 即 价格与需求反向变动。  四、效用与支出的对偶 从表面上看，效用最大化的马歇尔需求没有考虑支出最小化问题，支出最小化的希克斯需求也没有考虑效用最大化问题。 其实并非如此，效用最大化与支出最小化是相互对偶的问题。  对偶定理 设消费集合 X 是 的下有界非空凸闭子集，  是无满足的连续凸偏好。 对任何 ( p, r) 和 ( p, x)，都有： (1) (zD( p, r))( zH( p, z))， 即效用最大时支出也最小 ； (2) (zH( p, x))( zD( p, e( p, x)))， 即支出最小时效用也最大 ； (3) 如果  还严格凸 , 则  ( p, r) = h( p,  ( p, r))且 h( p, x) =  ( p, e( p, x))。 对偶定理说明，马歇尔需求与希克斯需求一致。 既然如此，消费最优化问题就既可以从效用最大化出发，也可以从支出最小化出发来解决。 鉴于这个原因，今后我们直接从效用最大化出发来研究消费者需求。 凡提到需求，如无特殊说明，均指马歇尔需求。 z R167。 3 消费者均衡 消费者均衡 是指 消费者的效用最大化状态。 因此，也可以把马歇尔需求向 量 x*D( p, r) 叫做消费者的 均衡向量。 问题是：怎样才能实现均衡。 使用效用函数，可以对这个问题作出回答。 为此，我们将根据具体情况，要使用如下一些假设中的一个或几个： (1) (X,  )是理性消费者 ， 即 X 满足假设 HC，  连续 、凸、 无满足 ； (2)  的 效用函数 u: X  R 满足假设 HU； (3) 消费者均衡 x* 在消费集合内部实现 ， 即 x*D( p, r)  X 。 rpxxu s . t .)(m a x假定价格体系为 p 0，消费者收入为 r。 利用效用函数 u(x)，效用最大化问题可表述为： max u(x) . px  r。 在需求服从瓦尔拉定律的情况下，不等式约束 “ p x  r” 可用等式约束 “ p x = r” 替代 ，从而效用最大化问题变得更加明确： 在需求服从瓦尔拉定律的情况下，效用最大化问题可用拉格朗日乘数法求解。 首先，构造拉格朗日函数 L(x,  ) = u(x) +  (r – p x)；然后，设 x*X  是效用最大化问题的解；最后，根据拉格朗日乘数法，存在实数  使得 L(x,  )在 (x*, ) 处的各个一阶偏导数全为零： 这就是说，消费者的均衡向量 x* 必然是方程组 的解。 鉴于这个原因，我们把方程组 叫做 效用最大化 边际方程 或 边际等式 (marginal equation)，其中实数  叫做 拉格朗日乘 数 ，简称 拉氏乘数 ，。 边际方程的重要作用在于它表达了消费者实现效用最大化的一阶条件：不但是必要条件，而且是充分条件。 一、 实现均衡的一阶条件 rxpxpxppxipxuu iii**22*11*),2,1(*)(rpxpxu**)( rpxpxu**)( * ) )(,* ) ,(* ) ,((*)(*)( 21 xuxuxuxuxu   证明：在定理的条件下，效用最大化只能在预算线上实现，于是根据拉格朗日乘数法可知，存在实数  使得 u (x*) =  p 且 p x* = r。 现在，我们只需证明拉氏乘数  0。 注意，定理的条件保证了 u(x*)  0。 而 x*D( p, r) X  又保证了 u(x*)  0，这是因为对任何 xX，若 x x*， 则 px  px* = r，从而 u(x)  u(x*)。 由此便可推知 u(x*)  0。 结果 u (x*) 0，故  0。  定理 (必要条件 ) 设理性消费者 (X, )的效用函数 u: X  R 在 X 内部可微并且 (xX )(u (x)  0)。 对任何价格向量 p 0、收入 r 及消费向量 x*X  ， 若 x*D( p, r)(即 x*是消费者的均衡 )，则存在实数  0 使 u (x*) =  p 且 p x* = r， 即 (x*, ) 满足边际方程 ： (一 ) 一阶必要条件 rxpxpxppxipxuu iii**22*11*),2,1(*)(1. 必要条件的序数效用意义：替代法则  边际替代率 ：在消费方案 x 处，商品 i 对商品 j 的边际替代率是指当商品 i 的消费增加一单位时 ， 在保持效用水平不变的情况下商品 j 的消费减少量。 即 MRSi, j = (d xj/d xi) = ui(x) /uj(x)。  市场交换率 ： 商品 i 对商品 j 的市场替代率是指 市场上一个单位的商品 i 所能换得的商品 j 的数量 , 即 商品 i 与 商品 j 的价格比 pi /pj。  替代法则 ： 均衡时，任何两种商品之间的边际替代率都等于市场交换率。 rxpxpxppxjippxuxujiji**22*11*),2,1,(*)(*)(jijippxuxu)()( 增加 i 的消费，减少 j 的消费，方可提高效用。 减少 i 的消费，增加 j 的消费，方可提高效用。 jijippxuxu)()(2. 必要条件的基数效用意义：边际法则  边际效用均等法则 ： 均衡时，把一单位货币收入不论用于购买哪一种商品以增加消费量，其所增加的效用都是一样的； 拉格朗日乘数  就是均衡时 货币收入的边际效用。 rxpxpxppxpxupxupxu**22*112211**)(*)(*)(  如果把边际方程中的效用函数理解为基数效用函数，则边际方程蕴含着更深刻的意义：边际效用均等法则。 增加 i 的消费，减少 j 的消费，方可提高效用。 减少 i 的消费，增加 j 的消费，方可提高效用。 jjiipxupxu )()(jjiipxupxu )()((二 ) 一阶 充分条件  定理 (充分条件 ) 设消费集合 X 是 的凸子集，效用函数 u(x) 连续 、 拟凹且在 X 内部连续可微。 则对任何价格向量 p 0、收入 r 及消费向量 x*X ， 若 存在实数  0 使 u (x*) =  p 且 p x* = r， 则x*D( p, r)(即 x*是消费者的均衡 )。 0*)()* ) ((*)(* ) )(*(l i m*)(*))1((l i m1*00  pxpxxxxutxuxxtxutxuxttxuiiiittR 证明 . 首先注意， u(x) 弱拟凹 (连续 +拟凹  弱拟凹 )。 要证明 x* D( p, r)，就是要 证明 (xX )( ( p x  r) (u(x)  u(x*)) )。 第一步 ，先证明 (xX )( (u(x)  u(x*))  ( p x  r) )。 为此，任意给定 xX 使得 u(x)  u(x*)。 u的弱拟凹性保证了对任何 t(0,1)，都有 u( t x+(1 t) x*)  u(x*)。 于是， 既然  0，因此 p x  p x* = r。 第一步的结论得证。 从 x*X 知，存在 wX 使 w x*。 由于 p 0，因此 pw px* = r。 根据第一步的结论，便知 u(w) u(x*) u(x)。 u(x)的连续性保证了存在 t(0, 1) 使得 u(tw+(1t)x) = u(x*)(连续函数介值定理 )。 记 z = tw + (1t) x，则我们有： p z = t pw +(1 t) px t r +(1 t) r = r 可见， u(z) = u(x*) 且 p z r。 再 根据 1. 充分条件的证明 第一步的结论，可知 p z  r，这与 p z r 相矛盾。 矛盾的结果表明反证法的假定是错误的，故只有 (xX )((u(x)u(x*))( p x r))成立。 这一结果意味着 (xX )( ( p x  r) (u(x)  u(x*)) )，定理得证。 第二步 ，再 证明 (xX )( (u(x) u(x*))  ( p x r) )。 用反证法，假定存在 xX 使得 u(x) u(x*) 但 px  r。 X xxwz rpx 商品间的替代法则 ： 如果 在 x*处 ， 任何两种商品之间的边际替代率都等于它们相应的价格比 ，即 那么 x* 就是消费者在价格 p 和收入 r 下的均衡。 2. 充分条件的意义 边际效用均等法则 ： 如果 在 x*处 ，把一单位货币收入不论用于购买哪一种商品以增加消费量，其所增加的效用都是一样的，即 那么 x* 就是消费者在价格 p 和收入 r 下的均衡。 pxupxupxu *)(*)(*)(2211 ),2,1,(*)( *)(  jippxu xujiji充分条件定理意味着商品之间的替代法则和边际效用均等法则不仅仅只是均衡的必要条件，通过这两条法则足以能够判断消费者是否实现了均衡。 二、内部均衡与边界最差现象 一阶条件要求均衡位于消费集合内部 (即内部均衡 )。 内部消费的特点 ，就是可沿任何方向对这种消费进行调整。 而边界消费就没有如此的好处：若要调整边界消费，则必须考虑调整方向是否可行的问题。 因此，一般情况下， 边界消费总是要比内部消费差些 ，这就是 边界消费最差现象 ，我们将其作为一个假设。  边界最差假设 ： (xX )(y X )( x  y)。 此假设是生活水平较高的体现。 那种有食无衣、有衣无食的生活正是最差的边界生活。 在此假设下，均衡必然在消费集合内部实现：既有衣物，又有食物。 这正是内部均衡定理表述的事实。  内部均衡定理 假定理性消费者 ( X,  ) 服从边界最差假设。 则对于任何 ( p, r), 都有 D( p, r) X 。 进而如果  还是内部严格凸的，则需求映射  :  X 得以确定且 (( p, r))(( p, r)X )。 设 x*=( p*, r*)X ， p* 0， * 是确定 x* 的边际方程中的拉氏乘数： u(x*) = * p* 且 p* x* = r*。 假设 HC、 HP和 HU成立。 间接效用函数 可看成函数 L(x, p, r) = u(x) + *(r p x) 与需求映射 ( p, r) 的复合：。 因此，我们有： 三、。