随机过程随机分析及均方微分方程(编辑修改稿)

随机过程随机分析及均方微分方程(编辑修改稿)内容摘要：

 kkknkttuX )])((212[1112  kkkknkttttA)0(212 22  tA 22 tA所以  t dttX0 )(  t t dtA0 22 22 tA首页 例 2 解 讨论维纳过程 的均方可积性。 且有 由于 )(tX因 )()( sXtX  服从 N （ 0 , )(2 st  ）分布，0)0( X),m i n (),( 2 tstsR ds dttsRu u ),(0 0 2 ][0 0 dsts dsdtutu t   332 u对一切有穷的 u存在， 故均方积分 dttXuY u )()( 0 存在。 首页 例 3 解 设 设随机过程 { )( tX ， 0t } 的相关函数为||),( tsMetsR  试求 )( tX 的积分的相关函数。 dttXsY s )()( 0所以 ),(21 ssR Y  1 20 0 )(s s ds d ttsR ，   1 20 0 ||s s ts d s d teM     1 20 )(0 )(s ss sts ts dsdtedteM 21 ss  12 )(21 1221   ssss eeeMsM 首页 同样可得 故得 当 21 ss  时，),( 21 ssR Y  12 )(22 2121   ssss eeeMsM ),( 21 ssR Y),m i n(2 21 ssM  1||21221   ssss eeeM 返回 首页 第六节 均方黎曼 — 司蒂吉斯积分 一、定义 有界变差函数 设 )( xf 是区间 [ a ， b ] 上的有界函数，对任意一组点 ],[, 10 battt n  bttta n  10作和式 |)()(|),(10110 iniinf tftftttI  则称 f 是对分组点 nttt , 10  的变差 如果对一切可能的分组点，变差所形成的数集 有界， |),(|10 nf tttI  则称 f 是在 [ a ， b ] 上的有界变差函数 首页 Rieman— Stieltjes积分 记 设 { )( tX , Tt  } 为二阶矩过程，)( tf 是在 [ a ， b ] 上的有界变差函数，],[ baT 对区间 [ a ， b ] 进行分割：bttta n  101 iii ttt ni 1 }1,m a x { nit i 作和式 nI 1 和 nI 2 ：)]()()[( 111   iiinin tXtXtfI)]()()[( 112   iiinin tftftXIiii ttt 1如果均方极限 11 )(0l. i. m II n  22 )(0l. i. m II n 存在并与分割和 的取法无关， it 首页 则 均方黎曼 — 司蒂吉斯积分 1I 和 2I 分别称为 )( tf 对 )( tX 和 )( tX 对 )( tf 的记为  ba tdXtfI )()(1 ba tdftXI )()(2二、 和 积分存在条件 1I 2I定理 1 设 { )( tX , ],[ bat  } 为二阶矩过程，其相关函数为 ),( stR X首页 则 存在 则 存在 （ 1）  ba tdXtfI )()(1 ba tdftXI )()(2（ 2） 若 )( tf 是 [ a ， b ] 上连续有界函数，),( stR X 在 ],[],[ baba  上为有界变差，若 ),( stR X 在 ],[],[ baba  上连续，)( tf 是 ],[ ba 上的有界变差函数，定理 2 若1I 存在，则 2I 也存在。 且有 12 )]()([ ItXtfI ba 注 反之也成立。 首页 定理 3 三、期望与二阶矩 若 1I 和 2I 都存在，则有 ba tdXtf )()( batXtf )]()([  ba tdftX )()( ba tdftX )()( batXtf )]()([  ba tdXtf )()(])([)(][ 1  ba tXdEtfIE ba tdftXEIE )()]([][ 2][ 21IE ),()()( 2  ba Xba stKdsftf][ 22IE   ba ba X sdftdfstK )()(),(返回 首页 第七节 均方导数与均方积分的分布 一、特征函数族 问题 如何利用随机过程的特征函数族，求出其均方导数及均方积分的特征函数族 定理 1 其有穷维特征函数族为 设 { )( tX , ],[ bat  } 为二阶矩过程，),({ 11 nntt   ；（ 1） 若 的均方导数存在， TX则对任意 Ttt n ,1  ，Ththt nn  ,11  有 ),( 11 nnX tt   ；；nnnhh thtthtthtn,,(l i m 2221110,1   ),,22221111nnnnhhhhhh  首页 （ 2） 则对任意 Ttt n ,1  ，有 若 TX 的均方积分 dttXtY ta )()(  存在，),( 11 nnY tt   ；,,( )()(1)1()1(1,101)(lim nmnmniniimuuuu ),), )1( 111)1(0111 11  mm tttt ）（）（ （（   )),), )( 1)()(01 nmnmnnnnnn tttt  （（）（  其中 ],[ ita 的分点为 iimii tttta i  )()(1)(0 ],[ )()( 1)( ikikik ttu  imk 1)(m a x )( 1)(1)( ikikmkim ttii ni ,1  首页 二、正态过程的均方导数、积分的性质 性质 1 设 ),( )()(2)(1)(  nknnn XXXX  为 k 维正态随机向量，且 )( nX 均方收敛于 ),( 21  kXXXX  ，即对每个 i有 0][l i m 2)(  inin XXE ki 1则 X也是 k维正态随机向量。 性质 2 设 { )( tX , Tt  } 是正态过程，且在 T 上均方可微，则 { )( tX  , Tt  } 也是正态过程。 首页 性质 3 则 也是正态过程 设 { )( tX ， Tt  } 是正态过程，且在 T 上均方可积，dssXtY ta )()(  ),( Tta 三、正态过程的均方导数、积分的特征函数 定理 2 设正态过程 )( tX 的均值函数为 )( tm ，协方差为 ),( tsK（ 1） 若 )( tX 均方可微，则 ），（ )(,),()( 21 ntXtXtX   的特征函数为 ),( 11 nnX tt   ；}),(21)(e xp{1,21 nkjkjkjnjjj tsttKtmi 首页 （ 2） 则 若 )( tX 均方可积， dssXtY ta )()(  ，），（ )(,),()( 21 ntYtYtY  的特征函数为),。 ,( 11 nnY tt     njtata kjnkjkjtajj kj ds dtttKdssmi1 1,}),(21)(e xp{ 返回 首页 第八节 均方微分方程 一、考察随机微分方程 其中 是二阶矩过程， 是二阶矩随机变量。 1 00 )(],[),()(XtXbaTttYtX)(tY 0X微分方程在均方意义下的唯一解是  tt dssYXtX 0 )()( 02 微分方程解的均值和相关函数 首页 （在 与 独立时 ） 的均值函数 的相关函数 )(tY0X)(tX tt dssYEXEtXE 0 )]([][)]([ 0)(tX),( tsR X ][ 20XE   sttt dudvvuR0 0 ),()]()([),( tXsXEtsR X ][][ 020 XEXE   ttduuYE0)(][ 0XE   stduuYE0)(   sttt dudvvYuYE 0 0 )()(当 0)]([ sYE][)]([ 0XEtXE 注 有 此时有 首页 微分方程的解 的均值函数与相关函数完全由 与 的相关函数所决定。 注 二、考察一阶线性微分方程 )(tY0X)(tX00 )()()()()(XtXtYtXtatX其中 是普通的函数， 是二阶矩过程， 是二阶矩随机变量。 )(ta )(tY 0X1．方程的解 定理 1 一阶线性微分方程的解为   tt duuaduuadsesYeXtXtstt00)()(0 )()(首页 证 显然 00 )( XtX 其次，利用求导验证即可。 )(tX  ttduuaetaX 0)(0 )( ts duuaetY )()( tt duuaeXta 0 )(0)[(  ttduuadsesYts0])()( )(tY)()( tXta )(tY tt tduuadsesYts0])([)(首页 2． 均值与相关函数 均值 相关函数 )(tX)]([ tXE ttduuaeXE0)(0 ][ ttduuadsesYEts0)()]([),( 21 ttR X ttttduuaduuaeeXE 010)()(20 ][dsesYXEetstt duuattduua  22010)(0)()]([。