自考概率论与数理统计多维随机变量及其概率分布(编辑修改稿)

自考概率论与数理统计多维随机变量及其概率分布(编辑修改稿)内容摘要：

X， Y）的分布律为 则 P{X+Y=0}=（ ）。 【答疑编号 12030310】 答案： C 2.（ 406）设二维随机变量（ X， Y）的概率密度为 则常数 c=（ ）。 A. B. 【答疑编号 12030311】 答案： A 解析： 3.（ 417）设（ X， Y）～ N（ 0， 0， 1， 1， 0），则（ X， Y）关于Ｘ的边缘概率密度 ＝ _____。 【答疑编号 12030312】 答案： 4.（ 1020）设二维随机变量（ X， Y）的概率密度为 则 【答疑编号 12030313】 答案： 解析： 5.（ 1026）设二维随机变量（ X， Y）的分布律为 试问： X与 Y是否相互独立。 为什么。 【答疑编号 12030314】 答 案： X与 Y相互独立 分析： Pij=Pi Pj ，所以 X与 Y相互独立 6.（ 426）设随机变量 X与 Y相互独立，且 X、 Y的分布律分别为 试求：（ 1）二维随机变量（ X， Y）的分布律； 【答疑编号 12030315】 （ 2）随机变量 Z=XY的分布律 . 【答疑编号 12030316】 答案： Z=X+Y的可能取值为 0， 1， 2 Z=XY的可能取值为 0， 1， 2 第四章 随机变量的数字特征 内容介绍 本章主要讨论随机变量的数字特征：数学期望，方差标准差，协方差，相关系数等 . 考点分析 2020年 4月 2020年 7月 2020年 10月 选择题 3题 6分 3题 6分 3题 6分 填空题 2题 4分 2题 4分 1题 2分 计算题 1题 8分 1题 9分 综合题 1题 12分 1题 12分 合计 6题 18分 7题 31分 5题 20分 内容讲解 167。 随机变量的期望 （ 1）期望的意义 引例： 一射手进行打靶练习，规定射入区域 e2得 2分，射入区域 e1得 1分，脱靶即射入区域 e0，得 0分，射手每次射击的得分数 X是一个随机变量。 （ 2）定义：设离散型随机变量 X的分布律为 P{X=xk}=pk， k＝ 1， 2， „. 若级数 绝对收敛（即级数 收敛），则定义 X的数学期望（简称均值或期望）为. 注：（ 1）当 X的可能取值为有限多个 x1， x2， „ ， xn时， ； （ 2）当 X的可能取值为可列多个 x1， x2， „ ， xn， „ 时 . 例题 1. P87 【例 4－ 1】设随机变量 X的分布律为 求 E（ X）。 【答疑编号 12040101】 例题 2. P87 【例 4－ 2】甲乙两人进行打靶，所得分数分别记为 X， Y，它们的分布律分别为 试比 较他们成绩的好坏。 【答疑编号 12040102】 解：分别计算 X和 Y的数学期望： E（ X） =00+1+2= （分）， E（ Y） =0+1+2=1 （分）。 这意味着，如果进行多次射击，甲所得分数的平均值接近于 ，而乙得分的平均值接近 1分。 很明显乙的成绩远不如甲。 （ 3）三种离散型随机变量的数学期望 ① 两点分布 设离散型随机变量 X的分布律为 其中 0p1，则 E（ X） =P. ② 二项分布 设 X～ B（ n,p），即 （ i＝ 0,1， 2， „ ， n）， q=1p， 则 E（ X） =np. 证明： ③ 泊松分布 设 X～ P（ λ ）其分布律为 ， i＝ 0， 1， 2， „ ， 则 E（ X） = λ. 证明： 例题 3. P88 【例 4－ 3】设随机变量 X～ B（ 5， p），因此 E（ X） =，求参数 p。 【答疑编号 12040103】 解：由已知 X～ B（ 5， p），因此 E（ X） =np=， n=5，所以 P=247。 5=。 例题 4. P88 【例 4－ 4】已知随机变量 X的所有可能取值为 1和 x，且 P{X=1}=， E（ X） =，求 x。 【答疑编号 12040104】 解： （ 4）离散型随机变量函数的数学期望 定理 4－ 1 设离散型随机变量 X的分布律为 P{X=xk}=pk， k＝ 1， 2， „. 令 Y=g（ X），若级数 绝对收敛，则随机变量 Y的数学期望为 . 例题 5. P88 【例 4－ 5】设随机变量 X的分布律为 令 Y=2X+1，求 E（ Y） 【答疑编号 12040501】 （ 1）定义：设连续型随机变量 X的概率密度 f（ x），若广义积分 绝对收敛，则称该积分为随机变量 X的数学期望（简称期望或均值），记为 E（ X），即 . 例题 6. P89 【例 4－ 7】 设 随机变量 X的概率密度为 求 E（ X）。 【答疑编号 12040106】 解： 例题 7. P89 【例 4－ 8】设随机变量 X的概率密度函数为 求 E（ X）。 【答疑编号 12040107】 （ 2）三种连续型随机变量的期望 ① 均匀分布 设 X～ U（ a,b）， 其概率密度为 ， 则 . 证明： ② 指数分布 设 X～ E（ λ ），其概率密度为 ， 则 . 证明： ③ 正态分布 设 X～ N（ μ,σ 2），其概率密度为 ， ∞x+∞ ， 则 E（ X） =μ. 证明： （ 3）连续型随机变量函数的期望 定理：设 X为连续型随机变量，其密度函数为 f（ x），又设随机变量 Y=g（ X），若绝对收敛，则。 说明：也可以先求 Y的概率密度 fY（ y），再根据定义求 E（ Y） . 例题 8. P91 【例 4－ 9】风速 V是一个随机变量，设它服从 [0,a]上均匀分布，其概率密度为 又设飞机机翼受到的压力 W是风速 V的函数， W=kV2（ k0常数） ,求 W的数学期望。 【答疑编号 12040201】 解： 例题 9. P91 【例 4－ 10】设 X的概率密度为 求。 【答疑编号 12040202】 解： 例题 10. P91 【例 4－ 11】设 X～ N（ μ ， σ 2），令 Y=eX，求 E（ Y）。 【答疑编号 12040203】 解： （ 1）二维随机变量分量的期望 定理 4－ 3：（ 1）若（ X,Y）为离散型随机变量，其分布律为 ，边缘分布律为 ， ，则 ， . （ 2）若（ X,Y）为连续型随机变量，其概率密度与边缘概率密度分别为 f（ x,y）， fX（ x）， fY（ y），则 ， . （ 2）二维随机变量函数的期望 定理 4－ 4： 设 g（ x,y）为二元连续函数，对于二维随机变量（ X,Y）的函数 Z=g（ X,Y）， （ 1）若（ X,Y）为离散型随机变量，级数 绝对收敛，则 ； （ 2）若（ X， Y）为连续型随机变量，且积分 绝对收敛，则 . 例题 11. P92 【例 4－ 12】已知（ X， Y）的分布律为 求：（ 1） E（ 2X+3Y）； 【答疑编号 12040204】 （ 2） E（ XY）。 【答疑编号 12040205】 解： 例题 12. P92 【例 4－ 13】设二维随机变量（ X， Y）的概率密度为 求：（ 1） E（ X+Y）；（ 2） E（ XY）；（ 3） P{X+Y≤1} 【答疑编号 12040206】 解： （ 1） （ 2） （ 3） 或 （ 1）常数的期望等于该常数，即 E（ C） =C， C为。