考研数学高数定积分复习资料讲义(编辑修改稿)

考研数学高数定积分复习资料讲义(编辑修改稿)内容摘要：

)()()(。 （ 4） abdxba 。 （ 5）设 )(0)( bxaxf  ，则 0)( ba dxxf。 推论 1 设 ))(()( bxaxgxf  ，则   baba dxxgdxxf )()(。 推论 2 )(|)(|)( badxxfdxxf baba  。 （ 6 ）设 )(xf 在 ],[ ba 上连续，且 Mxfm  )( ，则)()()( abMdxxfabm ba  。 （ 7 ）（ 积 分 中 值 定 理 ） 设 ],[)( baCxf  ， 则 存 在 ],[ ba ，使得))(()( abfdxxfba  。 定积分的特殊性质 （ 1）对称区间上定积分性质 1）设 ],[)( aaCxf  ，则   aaa dxxfxfdxxf 0 )]()([)(。 2）设 ],[)( aaCxf  ，且 )()( xfxf  ，则   aaa dxxfdxxf 0 )(2)(。 3）设 ],[)( aaCxf  ，且 )()( xfxf  ，则 0)( aa dxxf。 （ 2）周期函数定积分性质 设 )(xf 以 T 为周期，则 1）   TTaa dxxfdxxf 0 )()( ，其中 a 为任意常数。 2）   TnT dxxfndxxf 00 )()(。 （ 3）特殊区间上三角函数定积分性质 1）设 ]1,0[)( Cxf  ，则   2020 )( c o s)( s in  dxxfdxxf ，特别地， nnn Idxxdxx   2020 c o ss in ，且 1,2,1 102   IIInnI nn 。 2） nnn Idxxdxx 2s in2s in 200   。 3）  为奇数为偶数nndxxdxx nn,0,c o s2c o s 200。 4）设 ]1,0[)( Cxf  ，则     00 )( s in2)( s in dxxfdxxxf。 【例题 1】计算  2241sin dxexx。 【例题 2】计算  0 42 sinsin dxxxx。 【例题 3】计算  11 24 1 dxxx。 第一讲 极限与连续 一、定义 函数的几个初等特性 （ 1）奇偶性 — 设函数 )(xf 的定义域关于原点对称，若 )()( xfxf  ，称 )( xf 为偶函数；若 )()( xfxf  ，称 )(xf 为奇函数。 【例题 1】 判断函数 )1ln()( 2xxxf  的奇偶性，并求其反函数。 （ 2）周期性 — 设 )(xf 的定义域为 D ，若存在 0T ，使得对任意的 Dx ，有DTx  且 )()( xfTxf  ，称 )(xf 为周期函数。 【例题 2】讨论函数 ][)( xxxf  的周期性。 （ 3）单调性 — 设对任意的 Dxx 21, 且 21 xx ，有 )()( 21 xfxf  ，称 )(xf 在 D上为单调增函数，反之称为单调减函数。 （ 4）有界性 — 若存在 0M ，对任意的 Dx ，有 Mxf |)(| ，称 )(xf 在 D 上有界。 极限 （ 1）数列极限 ( N )— 若对任意的 0 ，总存在 0N ，当 Nn 时，有  || Aan 成立，称数列 }{na 以 A 为极限，记为 Aann lim。 （ 2）函数 )(xf 当 ax 时的极限（  ） — 若对任意的 0 ，总存在 0 ，当  ||0 ax 时，有  |)(| Axf 成立，称 A 为 )(xf 当 ax 时的极限，记为 Axfax  )(lim。 （ 3）函数 )(xf 当 x 时的极限（ X ） — 若对任意的 0 ，存在 0X ，当 Xx|| 时，有  |)(| Axf 成立，称 A 为 )(xf 当 x 时的极限，记为 Axfx  )(lim。 （ 4）左右极限 — 若 Axfax  )(lim ，称 A 为 )(xf 在 ax 处 的左极限，记为Aaf  )0( ；若 Bxfax  )(lim ，称 B 为 )(xf 的右极限，记为 Baf  )0( ，注意 )(lim xfax 存在的充分必要条件是 )0( af 与 )0( af 都存在且相等。 【注解】 （ 1）函数在一点处的极限与函数在该点有无定义无关。 （ 2）形如 )0(  aa bxk 当 ax 时的极限一定分左右极限。 若对 121lim  xx e ，因为 0lim 121  xx e ，  121lim xx e ，所以极限不存在； 又如 xxxf112121)(，显然 1)00( f ， 1)00( f ，故 )(lim0 xfx 不存在。 无穷小 （ 1）无穷小的定义 — 以零为极限的函数称为无穷小。 （ 2）无穷小的层次 — 设 0,0   ，若 0lim  ，称  为  的高阶无穷小，记为 )( o ；若 0lim  k ，称  与  为同阶无穷小，记为 )( O ，特别地，若 1lim  ，称  与  为等价无穷小，记为 ~。 【注解】 （ 1）无穷小一般性质 1）有限个无穷小之和、差、积为无穷小。 2）有界函数与无穷小之积为无穷小。 3） Axf )(lim 的充分必要条件是  Axf )( ，其中 0。 （ 2）等价无穷小性质 1） ~ ； 2）若 ~ ，则 ~ ； 3）若  ~,~ ，则 ~ ； 4）若   ~,~ 且 Alim ，则 Alim。 （ 3）当 0x 时常用的等价无穷小 1） )1ln (~1~a r c t a n~a r c s in~t a n~s in~ xexxxxx x ； 2） 221~cos1 xx ； 3） axx a ~1)1( 。 【例题 3】计算极限 )21ln( coslim20 xxxexx 。 【例题 4】计算极限 30 sintanlim x xxx 。 【例题 5】计算极限 )c os1s in1(lim 2220 xxxx 。 【例题 6】计算极限 3tan0lim xee xxx。 【例题 7】计算极限 xx x0lim。 连续 （ 1）函数在一点处连续的定义 — 设 )(xf 在 ax 的邻域内有定义，若)()(lim afxfax  ，称 )(xf 在 ax 处连续。 【注解】 )(xf 在 ax 处连续的充分必要条件是 )()0()0( afafaf 。 （ 2）函 数 )(xf 在 ],[ ba 上连续的定义 — 设 )(xf 在 ],[ ba 上有定义， )(xf 在 ),( ba 内点点连续，且 )()0(),()0( bfbfafaf  ，称 )(xf 在 ],[ ba 上连续。 【注解】初等函数在其定义域上都连续。 间断点及分类 （ 1）设 )(xf 在 ax 处间断，且 )0(),0(  afaf 都存在，称 ax 为 )(xf 的第一类间断点。 进一步地，若 )0()0(  afaf ，称 ax 为 )(xf 的可去间断点； 若 )0()0(  afaf ，称 ax 为 )(xf 的跳跃间断点。 （ 2）设 )(xf 在 ax 处间断，且 )0(),0(  afaf 至少一个不存在，称 ax 为)(xf 的第二类间断点。 【例题 8】求函数 1||ln)( 2  x xxf 的间断点及类型。 【例题 9】求函数 xxxeexf111)(的间断点及类型。 【例题 10】求函数 xxxf tan )1ln()(2的间断点及类型。 二、极限有关性质 （一）极限一般性质 定理 1（唯一性定理） 极限具有唯一性。 定理 2（保号性定理） （ 1）若 )0(0)(lim  Axfax ，则存在 0 ，当  ||0 ax 时， )0(0)( xf。 （ 2）设 )0(0)( xf 且 Axf )(lim ，则 )0(0A。 （二）极限的存在性质 定理 1 单调有界的数列必有极限。 情形一：设 }{na 单调增加，且存在 M ，使得 Man ，则 nn alim 存在。 情形二：设 }{na 单调减少，且存在 M ，使得 Man ，则 nn alim 存在。 定理 2（夹逼定理） （ 1）数列型：设 nnn cba  ，且 Aca nnnn   limlim ，则 Abnn lim。 【例题 11】计算  nnnnn 222 12111lim 。 （ 2）函数型：设 )()()( xhxgxf  ，且 Axhxf  )(lim)(lim ，则 Axg )(lim。 三、重要极限与有关结论 1sinlim0  xxx。 记忆：（ 1） 0x 时， xxx tansin  ，尤其 xxsin （ 0x ）； （ 2） 0x 时， xx  )1ln(。 ex xx  )11(lim。 记忆： })11{( nn 单调增加收敛于 e。 四、闭区间上连续函数的四大性质 定理 1 （最大值最小值定理）设 ],[)( baCxf  ，则 )(xf 在 ],[ ba 上取到最小值和最大值。 定理 2 （有界性定理） 设 ],[)( baCxf  ，则 )(xf 在 ],[ ba 上有界。 定理 3 （零点定理） 设 ],[)( baCxf  ，且 0)()( bfaf ，则存在 ),( ba ，使得 0)( f。 定理 4 （ 1）设 ],[)( baCxf  ，对任意的 ],[ Mm ，存在 ],[ ba ，使得  )(f ，即位于最小值和最大值之间的任何值函数都可以取到。 （ 2）设 ],[)( baCxf  ，且 )()( bfaf  ，不妨设 )()( bfaf  ，则对任意的)](),([ bfaf ，存在 ],[ ba ，使得  )(f ，即位于左右端点函数值之间的任何值函数都能取到。 【方法指导】 设 ],[)( baCxf  ，若结论中存在 )(f ，基本确定使用零点定理或介值定理，一般开区间用零点定理，闭区 间用介值定理。 【例题 1】设 ]1,0[)( Cxf  ， 1)1(,0)0(  ff ，证明：存在 )1,0(c ，使得ccf 1)(。 【例题 2】设 ],[)( baCxf  ，证明：对任意的 0,0  qp ，存在 ],[ ba ，使得 )()()()( fqpbqfapf 。 【例题 3】设 ],[)( baCxf  ，证明：对任意的 ],[ baxi  及 ),2,1(0 niki  且11  nkk  ，存在 ],[ ba ，使得 )()()( 11 nn xfkxfkf   第二讲 一元函数微分学基本理论 一、基本概念 导数 — 设 )(xfy 为定义于 D 上的函数， Dx0 ， )()( 00 xfxxfy  ，若极限 xyx  0lim 存在，称 )(xfy 在 0xx 处可导为 )(xfy 在 0xx 处的导数，记为 )( 0xf 或 0| xxdxdy。 【注解】 （ 1） 0x 同时包括  0x 与  0x。 若 xyx  0lim 存在，称此极限为 )(xfy 在点 0xx 处的左导数，记为 )( 0xf ，若xyx  0lim 存在，称此极限为 )(xfy 在点 0xx 处的右导数，记为 )( 0xf ，)(xfy 在点 0xx 处可导的充分必要条件是 )( 0xf 与 )( 0xf 都存在且相等。 （ 2）函数 )(xfy 在 0xx 处导数的等价定义 xyxf x   00 lim)( h xfhxfh )()(lim 000   0 0 )()(lim 0 xx xfxfxx  。 （ 3）若 )(xfy 在 0xx 处可导，则 )(xfy 在 0xx 处连续，反之不对。