经济数学微积分泰勒级数与幂级数(编辑修改稿)

经济数学微积分泰勒级数与幂级数(编辑修改稿)内容摘要：

nnnnnn xbxa .0nnn xc  RR ,(其中 )0110 bababac nnnn   00ba 10ba 20ba 30ba01ba 11ba 21ba 31ba02ba 12ba 22ba 32ba03ba 13ba 23ba 33ba柯西乘积 321 xxx : ( 1 ) 幂级数  0nnn xa 的和函数 )( xs 在收敛 域 I 上连续 . （求和与求极限可交换次序 ) ( 2 ) 幂级数  0nnn xa 的和函数 )( xs 在收敛区间 ),( RR 内可积 , 且对 ),( RRx  可逐项积分 . （求和与求积可交换次序 ) 00 0( ) d ( ) dxx nnns x x a x x 即00dx nnna x x   .110  nnn xna( 3 ) 幂级数  0nnn xa 的和函数 )( xs 在收敛区间 ),( RR 内可导 , 并可逐项求导 . 0)()(nnn xaxs即 0)(nnn xa .11nnn xna（求和与求导可交换次序 ) •幂级数经逐项求导或逐项积分后，所得之幂级数的收敛半径不变； 说明： •在收敛区间的端点处的收敛性可能改变； •若经逐项求导或逐项积分后得幂级数在某一端点处收敛，则在该点处 (2)、 (3)仍成立。 例 ,)(12nnnxxf,)(11nnnxxf,)1()(22nnnxnxf它们的收敛半径都是 1, 但它们的收敛域各是 )1,1(),1,1[],1,1[ 例：由几何级数的收敛得到的几个结论 21 1 . . . . . . ( 1 1 )1nx x x xx          2121 1 2 3 . . . . . . ( 1 1 )1nx x n x xx        2 3 1ln ( 1 ) . . . . . . ( 1 1 )2 3 1nx x xx x xn          两边求导得 两边积分得 解 1)1()(nnxnxs设  .11)1(51的和函数，在求例 nnxn110)(nnx xdxxs则  1,11  xxxxxxs1)(    1,1112  xx例 6 求级数 11)1(nnnnx的和函数 . 解 ,)1()(11nnnnxxs,0)0( s显然两边积分得 0 ( ) d ln ( 1 )x s t t x  21)( xxxs ,1 1 x )11(  x显然，级数的收敛域为（ –1， 1] ,1 时又 x .1)1(11 收敛nnn).1l n()1(11 xnxnnn   )11(  x),1l n ()( xxs )1l n ()0()( xsxs 即例 7 求 1 2)1(nnnn的和 . 解 ,)1(1nnxnn考虑级数 收敛区间 (1,1), 1)1()(nnxnnxs则 )(11  nnxx)1(2 xxx ,)1( 2 3xx1 2)1(nnnn故)21(s .8四、小结 : 收敛半径 R : 分析运算性质 思考题   .1112 的和函数，在求 nnxn思考题解答 xxnn 110    0112 111nnnn xnnxx求导      11112113 112nnnnnn nxxnnxnx求导1121202nnnnnn xnxxnxn      23 1112xxx（注意下角标的灵活处理） 一、 求下列幂级数的收敛区间 : 1 .  )2(424222nxxxn； 2 .  nnxnxx125222222； 3 . 122212nnnxn； 4 、 )0,0(1babaxnnnn. 练 习 题 二、 利用逐项求导或逐项积分 , 求下列级数的和函数 : 1. 11nnnx ； 2.  12531253nxxxxn. 练习题答案 一、 1 . ),( ； 2 . ]21,21[  ；。