经济数学微积分微分方程与差分方程复习资料(编辑修改稿)

经济数学微积分微分方程与差分方程复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

eCC,31121  eCC,6512 21  eCC由 解得 ,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为 .26])121(612[23xxx exexexeey ).2c o s(214 xxyy 求解方程例 5 解 特征方程 ,042 r特征根 ,22,1 ir 对应的齐方的通解为 .2s i n2c os 21 xCxCY 设原方程的特解为 .*2*1* yyy ,)1( *1 baxy 设 ,)( *1 ay 则 ,0)( *1 y，得代入 xyy 214  ，xbax 2144 由 ，04 b，214 a解得 ，0b，81a。 81*1 xy ),2s i n2c os()2( *2 xdxcxy 设,2s i n)2(2c os)2()( *2 xcxdxdxcy 则,2s i n)44(2c os)44()( *2 xdxcxcxdy ，得代入 xyy 2c o s214 故原方程的通解为 .2s i n81812s i n2c os 21 xxxxCxCy ,2c o s212s i n42c o s4 xxcxd 由 ，04  c，214 d即 ，81d，0c。 2s i n81*2 xxy .)(),(1)()(2此方程的通解（２）的表达式；（１），试求：的齐次方程有一特解为，对应有一特解为设xfxpxxxfyxpy 例 6 解 （１） 由题设可得： ),()1)((2,02)(223xfxxpxxxp解此方程组，得 .3)(,1)( 3xxfxxp （２）原方程为 .31 3xyxy ，的两个线性无关的特解程是原方程对应的齐次方显见 221 ,1 xyy 是原方程的一个特解，又 xy 1* 由解的结构定理得方程的通解为 .1221 xxCCy 一、 选择题 : 1. 一阶线性非齐次微分方程)()( xQyxPy 的通解是 ( ). (A)( ) d ( ) d[ ( ) d ]P x x P x xy e Q x e x C； (B)( ) d ( ) d( ) dP x x P x xy e Q x e x； (C)( ) d ( ) d[ ( ) d ]P x x P x xy e Q x e x C； (D)( ) dP x xy c e . 2. 方程yyxyx 22是 ( ). (A) 齐次方程； (B) 一阶线性方程； (C) 伯努利方程； (D) 可分离变量方程 . 测 验 题 3. 22dd0 , ( 1 ) 2yxyyx  的特解是 ( ). (A)222 yx； (B)933 yx； (C)133 yx； (D) 13333yx. 4. 方程xy s i n的通解是 ( ). (A)322121co s CxCxCxy  ； (B)322121s in CxCxCxy  ； (C)1c os Cxy ； (D)xy 2s i n2. 5 . 方程0 yy的通解是 ( ) . (A )1c oss i n Cxxy ； (B )321c oss i n CxCxCy ； (C )1c oss i n Cxxy ； (D )1s i n Cxy . 6 . 若1y和2y是二阶齐次线性方程 0)()(  yxQyxPy的两个特解 , 则 2211yCyCy ( 其中21, CC为任意常数 )( ) (A ) 是该方程的通解； (B) 是该方程的解； ( C) 是该方程的特解； (D) 不一定是该方程的解 . 7 . 求方程 0)( 2  yyy 的通解时 , 可令 ( ). ( A) PyPy  则,； ( B)dydPPyPy  则,； ( C)dxdPPyPy  则,； ( D)dydPPyPy  则,. 8 . 已知方程 02  yyxyx 的一个特解为 xy  , 于 是方程的通解为 ( ). ( A) 221 xCxCy ； ( B)xCxCy121 ； ( C) xeCxCy21 ； ( D) xeCxCy 21. 9. 已 知 方 程0)()(  yxQyxPy的 一 个 特1y解为, 则另一个与它线性无关的特解为 ( ). (A) ( ) d21 211dP x xy y e xy； (B) ( ) d21 211dP x xy y e xy； (C) ( ) d2111dP x xy y e xy； (D) ( ) d2111dP x xy y e xy. 10 . 方程 xeyyy x 2c os23  的一个特解形式是 ( ). ( A) xeAy x 2c os1； ( B) xxeBxxeAy xx 2s i n2c os11 ； ( C) xeBxeAy xx 2s i n2c os11 ； (D) xexBxexAy xx 2s i n2c os 2121 . 二、 求下列一阶微分方程的通解 : 1 、 )1(l nln  xaxyxyx ； 2 、33d0dyx y x yx  ； 3 、22ddd d 0y x x yx x y yxy  . 三、 求下列高阶微分方程的通解 : 1 . 012  yyy ； 2 . )4(2  xexyyy . 四、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 : 1 . 3 2 2d 2 ( ) d 0y x x x y y  , 11  yx 时， ； 2 . xyyy c os2  ,23,00  yyx 时， . 五、已知某曲线经过点 )1,1( , 它的切线在纵轴上的截 距等于切点的横坐标 , 求它的方程 .六、 设可导函数)( x满足 0( ) c os 2 ( ) sin d 1xx x t t t x   , 求)( x. 七、 我舰向正东海里1处的敌舰发射制导鱼雷 , 鱼雷在 航行中始终对准敌舰 . 设敌舰以0v常数沿正北方向 直线行驶 , 已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍 , 求鱼雷 的航行曲线方程 , 并问敌舰航行多远时 , 将被鱼雷击 中 ? 测验题答案 一、 1 . A ； 2 . A ； 3 . B ； 4 . A ； 5 . B ； 6 . B ； 7 . B ； 8 . B ； 9 . A ； 10 . C. 二、 1 . xcaxyln ； 2 . 12122xeCyx； 3 . Cxyyx  a rc t a n222 . 三、 1 . )c o s h (1211CxCCy  ； 2 . xxexxeCeCCy xxx   222321)9461(. 四、 1 . 0)ln21( 2  yyx ； 2 . xxey x s i n21 . 五、 xxxy ln . 六、 xxx s i nc os)(  . 七、 )10(32)1(31)1(2321 xxxy . 敌舰航行32海里后即被击中 . ⑶ 需求函数模型系统来源于效用函数 • 由效用函数在效用最大化下导出，符合需求行为理论 • 只包括收入和价格 • 参数有明确的经济意义 ⒉ 从效用函数到需求函数 ⑴ 从直接效用函数到需求函数 • 直接效用函数为 ： U u q q q n ( , , , )1 2 q p Iiini 1• 预算约束为 ： • 在预算约束下使效用最大，即得到需求函数模型。 构造如下的拉格朗日函数： L q q q n( , , , , )1 2   u q q q n( , , , )1 2   ( )I q piini1 LquqpLI q pi iii iin     001极值的一阶条件 ： 求解即得到需求函数模型。