概率论数据统计与区间估计实验(编辑修改稿)

概率论数据统计与区间估计实验(编辑修改稿)内容摘要：

, A 时的如下 散点图（图 ） . 1 111 1 111 1 111 1 111 图 从上述图形可见 , 当  较大时 , X 和 Y 的线性关系较紧密 , 特别当 1 时 , X 和 Y 之间存在线性关系。 当  较小时 , X 和 Y 的线性关系较差 , 特别当 0 时 , X 和 Y 不相关 . 伯努利定理的直观演示 例 (1) 产生 n 个服从两点分布 ),1( pb 的随机数 , 其中 ,p ,50n 统计 1 出现的个数 , 它代表 n 次试验中事件 A 发生的频数 An , 计算 pnnA。 (2) 将 (1)重复 100m 组 , 对给定的  , 统计 m 组中 pnnA 成立的次数及其出现的频率 . 输入命令 Statistics` p=。 eps=。 m=100。 out={}。 For[n=10,n=2020,n*=3,t={}。 dist={}。 h=0。 For[i=1,i=m,i++,dist=RandomArray[BinomialDistribution[1,p],n]。 na=Frequencies[dist]。 h=Abs[na[[2]][[1]]/np]。 t=Append[t,h]]。 times=Count[t,x_/。 x=eps]。 out=Append[out,{n,times,N[times/m]}]。 ] TableForm[out,TableHeadings{None,{n,time,frequence}}] 则输出 n time frequence10 77 30 54 90 36 270 8 810 0 0. 将上述结果真理成下表形式 : n pnnA出现的次数 pnnA出现的频率 10 72 30 54 90 25 270 15 810 0 从上表可见 : 随着 n 的增大 , 泊努利实验中事件 A 的频率与概率的偏差不小于  的概率越来越接近于 0, 即当 n 很大时 , 事件的频率与概率有较大偏差的可能性很小 , 由实际推断原理 , 在实际应用中 , 当试验次数很大时 , 便可以用事件发生的频率来代替概率 . 中心极限定理的直观演示 例 (教材 例 ) 本例旨在直观演示中心极限定理的基本结论 : “大量独立同分布随机变量的和的分布近似服从正态分布 ”. 按以下步骤设计程序 : (1) 产生服从二项分布 ),10( pb 的 n 个随机数 , 取 p , 50n , 计算 n 个随机数之 和 y 以及)1(10 10 pnp npy 。 (2) 将 (1)重复 1000m 组 , 并用这 m 组)1(10 10 pnp npy 的数据作频率直方图进行观察 . 输入 Statistics` Graphics`Graphics` m=1000。 n=50。 p=。 t={}。 dist={}。 For[i=1,i=m,i++, dist=RandomArray[BinomialDistribution[10,p],n]。 ysum=CumulativeSums[dist]。 nasum=(ysum[[n]]10*n*p)/Sqrt[n*10*p*(1p)]。 t=Append[t,nasum]。 ] Histogram[t,FrequencyDataFalse]。 则输出图 114. 3. 2. 1. 0. 1. 2. 3.20406080 图 114 从图 114 可见 , 当原始分布是二项分布 , n 比较大时 , n 个独立同分布的的随机变量之和的 分布近似于正态分布 . 实验习题 1. (抛硬币实验 ) 模拟抛掷一枚均匀硬币的随机实验 (可用 01 随机数来模拟实验结果 ), 取模拟 n 次掷硬币的随机实验 . 记录实验结果 , 观察样本空间的确定性及每次实验结果的偶 然性 , 统计正面出现的次数 , 并计算正面出现的频率 . 对不同的实验次数 n 进行实验 , 记录 下实验结 果 ,通过比较实验的结果 , 你能得出什么结论 ? 程序提示 : Statistics` n=100。 t={}。 Do[t=Append[t,Random[Integer]],{i,n}]。 data=Frequencies[t]。 times=data[[2]][[1]]。 p=N[times/n] 2. (抽签实验 ) 有十张外观相同的扑克牌 , 其中有一张是大王 , 让十人按顺序每人随机抽 取一张 , 讨论谁先抽出大王 . 甲方认为 : 先抽的人比后抽的人机会大 . 乙方认为 : 不论先后 , 他们抽到大王的机会是一样的 . 究 竟他们谁说的对 ? 程序提示 : 用 1~10 的随机整数来模拟实验结果 . 在 1~10 十个数中 , 假设 10代表抽到大王 , 将这十个数进行全排 , 10 出现在哪个位置 , 就代表该位置上的人模拟到大王 . 输入 Statistics` chouqian[n_Integer]:=Module[{times,tt},times=Table[Random[Integer,{1,10}],{i,n}]。 tt=Frequencies[times]。 Print[tt]。 Table[N[tt[[i]][[1]]/n],{i,1,10}]] n=100。 chouqian[n] n=1000。 chouqian[n] n=5000。 chouqian[n] 则分别输出模拟实验 100 次 , 1000 次 , 5000 次的结果 , 将实验结果进行统计分析 , 给出分析结果 . 注 : 理论上 , 易证明每个人抽到大王的机会均等 . 3. (泊松分布 ) 利用 Mathematica 在同一坐标系下绘出  取不同值时泊松分布 )( 的概 率分布曲线 , 通过观察输出的图形 , 进一步理解泊松分布 的概率分布的性质 . 程序提示 : Statistics` Graphics`Graphics` p=1。 dist=PoissonDistribution[p]。 t=Table[{x,PDF[dist,x+1]},{x,0,20}]。 gg1=ListPlot[t,PlotStylePointSize[],DisplayFunctionIdentity]。 gg2=ListPlot[t,PlotJoinedTrue,DisplayFunctionIdentity]。 p1=Show[gg1, gg2]。 4. (二项分布的正态分布逼近 ) 用 正态分布逼近给出二项分布 ),。 ( pnkb ,1( k ),2 n , 并将得到的近似值与 它的精确值比较 . 程序提示 : Statistics` Graphics`Graphics` n=40。 p=。 dist=BinomialDistribution[n,p]。 t1=Table[{x,PDF[dist,x]},{x,0,n}]。 gg1=ListPlot[t1,PlotStylePointSize[],DisplayFunctionIdentity]。 gg2=ListPlot[t1,PlotJoinedTrue,DisplayFunctionIdentity]。 p1=Show[gg1,gg2]。 t=Table[{PDF[dist,x+1],x},{x,0,n}]。 g1=BarChart[t,PlotRangeAll,DisplayFunctionIdentity]。 dist=PoissonDistribution[n*p]。 t2=Table[{x,PDF[dist,x]},{x,0,n}]。 gg1=ListPlot[t2,PlotStylePointSize[],DisplayFunctionIdentity]。 gg2=ListPlot[t2,PlotJoinedTrue,PlotStyle{Dashing[{}],Thickness[]}]。 p2=Show[gg1,gg2]。 p=Show[p1,p2,DisplayFunction$DisplayFunction,PlotRangeAll]。 p3=Show[g1,p2,DisplayFunction$DisplayFunction,PlotRangeAll]。 在上述程序中 , 通过改变 n 与 p 的值 , 可给出用正态分布逼近各种参数下二项分布的具体结果 . 实验 2 数据统计 实验目的 掌握 利用 Mathematica 求来自某个总体的一个样本的样本均值、中位数、样 本方差、偏度、峰度、样本分位数和其 它数字特征 , 并能由样本作出直方图 . 基本命令 (1) 求样本 list 均值的命令 Mean[list]。 (2) 求样本 list 的中位数的命令 Median[list]。 (3) 求样本 list 的最小值的命令 Min[list]。 (4) 求样本 list 的最大值的命令 Max[list]。 (5) 求样本 list 方差的命令 Variance [list]。 (6) 求样本 list 的标准差的命令 StandardDeviation[list]。 (7) 求样本 list 的  分位数的命令 Quantile[list, ]。 (8) 求样本 list 的 n 阶中心矩的命令 CentralMoment[list,n]. BinCounts 基本格式为 BinCounts[数据 ,{最小值 ,最大值 ,增量 }] 例如 ,输入 BinCounts[{1,1,2,3,4,4,5,15,6,7,8,8,8,9,10,13},{0,15,3}] 则输出 {4,4,5,1,2} 它表示落入区间 ]15,12(],12,9(],9,6(],6,3(],3,0( 的数据个数分别是 4, 4, 5, 1, 2. 注 : 每个区间是左开右闭的 . BarChart 基本格式为 BarChart[数据 ,选项 1,选项 2,„ ] 其中数据是 {{ 11,xy },{ 22,xy },„ }或 { , 21 yy }的形式 .而 , 21 yy 为条形的高度 , 21,xx 为条形的中心 .在数据为 { , 21 yy }的形式时默认条形的中心是 { ,2,1 }.常用选项 有 BarSpacing 数值 1,BarGroupSpacing 数值 2. 例如 , 输入 BarChart[{{4,},{4,},{5,},{,5},{2,}},BarGroupSpacing] 则输出 如图 的条形图 . 5 12345 图 实验举例 样本的数据统计 例 (教材 例 ) 在某工厂生产的某种型号的圆轴中任取 20 个 , 测得其直径数据如下 : 求上述数据的样本均值 ,中位数 ,四分位数。 样本方差 ,极差 ,变异系数 ,二阶 、三阶和四阶中心矩。 求偏度 ,峰度 ,并把数据中心化和标准化 . 输入 Statistics` data1={,, ,, ,}。 (*数据集记为 datal*) Mean[data1] (*求样本均值 *) Median[data1] (*求样本中位数 *) Quartiles[data1] (*求样本的 分位数 , 中位数 , 分位数 *) Quantile[data1,] (*求样本的 分位数 *) Quantile[data1,] (*求样本的 分位数 *) 则输出 {,} 即样本均值为 ,样本中位数为 ,样本的 分位数为 ,样本的 分位数, 样本的 分位数是 , 样本的 分位数是 . 输入 Variance[data1] (*求样本方差 2s *) StandardDeviation[data1] (*求样本标准差 s *) VarianceMLE[data1] (*求样本方差 2*s *) StandardDeviationMLE[data1] (*求样本标准差 s *) SampleRange[data1] (*求样本极差 R *) 则输出 即样本方差 2s 为 , 样本标准差 s 为 , 样本方差 2*s 为 样本标准差 *s 为 , 极差 R 为 . 注 : Variance 给出的是无偏估计时的方差 , 计算公式为  ni i xxn 12)(11, 而VarianceMLE 给出的是总体方差的极大似然估计 , 计算公式为  ni i xxn 12)(1,它比前者稍微小些 .。