柯西积分公式与高阶导数(编辑修改稿)

柯西积分公式与高阶导数(编辑修改稿)内容摘要：

都是调和函数但 不是解析函数。 2222 ,yxxvyxu()f z u i v证 由于       222222222 2 2 22 3 2 2 2 333222 2 2 22 , 2 , 2 , 22, 2 6 6 2, u u u uxyx y x yv y x v x yxyx y x yv x x y v x y xxyx y x y                   复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 所以 0 ,0 22222222 y vx vy ux u故 是全平面上的调和函数， 除原点外在全平面上调和。 但 ,不满足 CR条件，所以 不是解析函数。 yvxu  zfu v复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 例 3 证明：若 为调和函数且不等于常数， 则 不是调和函数。 u2u证 因为 为调和函数，所以 u.02222 y ux u又  222222222 2 xuuxuxu,xuuxu   故同理  22222222 yuuyuyu     22 2 2 2 222 2 2 0uu uux y x y        故复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 例 4求形如 的最一般的调和函数。 3223 dycxyybxax 并求其共轭调和函数及其对应的解析函数。 3 2 2 3 u a x b x y c x y d y   解 ： 因 为 , 所 以.2 cx6dyy u ,2 b y6axx u 2222令 2222 ( 6 2 ) ( 6 2 ) 0uu a c x d b yxy      复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 故 3db3ac 02b6d02c6a 即 的一般形式的调和函数为 u3223 dy3a x yy3d xaxu 其中 为任意常数。 ,ad因为 22223 6 3 ,3 6 3xyu a x d x y a yu d x a x y d y     复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 所以  2 2 2 2( ) 3 6 3 3 6 3f z a x d x y a y d x a x y d y i      令 ，得 0y    2233f x ax dx i 即知   2233f z az dz i 于是     Ci d zazdzz3 di3azf 332  复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 例 5 ( , ) ( ) u x yfz已 知 有 下 列 形 式 ， 求 其 共 轭 调 和 函 数 ，并 写 出 的 形 式。  2222222222( 1 ) ( 2 ) , 1 0( 3 ) ( ) ( 4 )( 4 ) 2 ( 1 ) , ( 2 )1( 5 ) l n ( ) 2( 6 ) s i n , ( 1 ) 0xyu x y x yyufxyu x y x y x yu x y f iu x yu e x y f      查看答案 查看答案 查看答案 查看答案 查看答案 查看答案 ( , ) ( )v x y f z说 明 ： 求 共 轭 调 和 函 数 及 有 多 种 方 法 ， 下 面 各 用 一 种 方 法 求 解 各 题。 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2 , 2u v u vx y y xx y y x             因 为 依。