有限集的类方程与有限群的互补定理(编辑修改稿)

有限集的类方程与有限群的互补定理(编辑修改稿)内容摘要：

iB 外其余陪集不包含 1，从而不会是子群 .这就表明， G 的每个 sp 阶子群均恰好在一个长为 t 的轨道之中，但 G 是循环群，它的 sp 阶子群恰好只有一 个，从而 ssptpCt (mod )pt .证毕 . 推论 4 设 p 为素数， 0 rp ，则 ssptp rCt  (mod )p. 证明 只需主要到 sspptp r tpCC  (mod )sp，又由 推论 3 即 得 . 进一步的，我们利用以上结论获得文献 [4,5]中的一些主要结果，证明方法比原文方法更为简单： 推论 4[4] 1 (mod )pmp mC C p ， p 是素数， m 是自然数 . 推论 5[4] 1 (m od )pmp l mC C p  ， p 是素数， m 是自然数， l 是非负整数， pl . 推论 6[6] 设 ln pm ， ( , ) 1pm ， kl。 于是 0 (m od )kp l knCp ，但 0kpnC  1(mod )lkp . 证明 因为 ()l k l kn p m p m p  ，由 推论 3 得 kp l knC mp  1(mod )lkmp  ， 所以 有 0kpnC  (mod )lkp ，但由 ( , ) 1pm ，得到 10 (m o d )kp l knCp . 推论 7[5] 设 p 为素数，若 0 (mod )inCp ， (1 1)in   ，则存在 sN 使 snp . 证明 由 1 0 (mod )nCp ，即 0 (mod )np ， 因此可设 kn pt ， ( , ) 1pt .若 5 结论不成立，则 1t ，从而 snp ，由定理 3 得 0kpnC  (mod )p ，与假设矛盾 . ２ 有限群的互补定理 首先，我们利用前面的结论，给出下列引理 引理 1 定义群 G 到自身的映射 f 为 : 1( ) ( )f g g g G  ，则 Aut( )fG当且仅当 G 为交换群 . 证明 （必要性）若 Aut( )fG ，则 12,g g G，有 111 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )f g g f g f g g g， 而 1 1 11 2 1 2 2 1( ) ( )f g g g g g g  ，所以 1 1 1 12 1 1 2g g g g   ，对此式两边同时取逆则得 12gg 21gg ，所以 G 为交换群 . （充分性）若 G 为交换群，则 1 1 1 1 11 2 1 2 2 1 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f g g g g g g g g f g f g       ， 所以 Aut( )fG . 引理 2 G 是有限群， Aut( )fG ，且满足 2 1Gf  ，若 f 无非单位元的不动点，则 G 是奇数阶交换群 . 证明 先证 G 是奇数阶群 .若 f 没有非单位元的不动点，则 Fix ( ) { }G fe ，而2 1Gf  ，因此根据定理 1 或推论 1 有 F i x ( ) ( m o d 2 ) 1 ( m o d 2 )GGf，即 G 是奇数阶群 . 再证 G 是交换群 .因为 G 为有限群，则可设  12, , , nG g g g ，其中 ijgg ，从而有 1ijg g e  ，而 Fix ( ) { }G fe ，故 11()i j i jf g g g g .又由于 Aut( )fG ，因此 11( ) ( )i j i jf g f g g g，所以 1 1 1( ) [ ( ) ] ( )i i j j j jg f g g f g g f g  .现令  1 1 11 1 2 2( ) , ( ) , , ( )nnH g f g g f g g f g   ， 则 HG ，而 HG ，所以 HG .因此 gG ， xG ，使得 g 1()xf x ，则 6 1 2 1 1 1( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )f g f x f x f x f x f x x g      ， 于是根据引理 1 可知 G 为交换群 . 引理 3 设 G 是奇数阶群 ， 对给定 gG ，则方程 2xg 在 G 中有唯一解 . 证明 先证存在性 .G 为奇数 ， 则 gG ，根据 Lagrange 定理知 ()og t 必为奇数，则存在 12tx g G，使得 2xg . 再证唯一性 .设 2xg 有两解 12,xx，并设 ( ) , 1 , 2iio x t i.同样 由 Lagrange。