层次分析法ahp法建模(编辑修改稿)

层次分析法ahp法建模(编辑修改稿)内容摘要：

权 量 向 下层 量 层次 1A 1A „ mA1 计算组合权向量nWWW 1 其中 mj ijji WaW 1 1a 2a „ ma nBBB21 11211nWWW 22212nWWW  nmmmWWW21 mjnjjnmjjjmjjjbaWbaWbaW1122111 最大特征根 )(maxi 和法、根法、幂法 一致性检验 CI 1max)(   n nCI jj  CI ? 一致性随机检验 RI jRI 对照表 10CR。 一致性比率 CR  mjjjmjjjRIaCIaRICICR2 ② 若通过一致性检验，则可按照组合权向量nWWW 1 的表示结果进行决策（nWWW 1中 iW 中最大者的最优），即：   Tni WWWWW ,:m a x* 1  ③ 若未能通过检验，则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率， CR 较大的成对比较矩阵 九、特征根的近似求法（实用算法） 层次分析法的基本思路是计算上层每个元素对下一层次各元素的权向量（即最大特征根max 对应的特征向量nWWW 1 ），以及组合权向量及一致性检验问题。 计算判断矩阵最大特征 根和对应阵向量，并不需要追求较高的精确度，这是因为判断矩阵本身有相当的误差范围。 而且优先排序的数值也是定性概念的表达，故从应用性来考虑也希望 14 使用较为简单的近似算法。 常用的有以下求特征根的近似求法：“和法”、“根法”、“幂法”，具体如下： 1．“和法”求最大特征根和对应特征向量（近似解） （ S1）将矩阵 nxmijaA )( 的每一列向量的归一化得： ni ijijij aaW1~ （ S2）对 ijW~ 按行求和得： nj iji WW 1~~ （ S3）将 iW~ 归一化，即有： ni iii WWW 1 ~~ ，则有特征向量：nWWW 1~ （ S4）计算与特征向量nWWW 1 对应的最大特征根max 的近似值： ni iiWAWn1max)(1 此方法：实际上是将 A 的列向量归一化后取平均值作为 A 的特征向量。 解释： 当 A 为一致矩阵时，它的每一列向量都是特征向量 W 可以在 A 的不一致性不严重时，取 A 的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的（有依据的）。 2．“根法”求最大特征根特征向量近似值： 步骤与“和法” 相同，只是在（ S2）时：对归一化后的列向量按行“求和”改为按行“求积”再取 n 次方根，即： nnj ijiWW11~~  。 即有具体步骤： (S1)将矩阵 min)( ijaA 的每一列向量归一化得： ni ijijij aaW1~ （ S2）对归一化以后的列向量各元素：  ni ijijij aaW1~ 按行“求和”并开 n 次方根得： nnj ijiWW11~~   15 （ S3）再将 iW~ 归一化得：   ninnjijnnjijniiiiWWWWW111111~~~~ 得到特征向量近似值：nWWWW 21 （ S4）计算最大特征根： iiWWAn )(1max 作为最大特征根的近似值。 注：“根法”是将“和法”中求列向量的算术平均值改为求几何平均值。 3．“幂法”求最大特征根： （ S1）任取 n 维归一化初始向量 )0(W （ S2）计算  ,2 ,1 ,0 ,~ )()1(  kAWW kk （ S3） )1(~kW 归一化，即令：  nikikkWWW1)1()1()1( ~~ （ S4）对预先给定的  ，当 ) , ,2 ,1()()1( niWW kiki  时， )1( kW 即为所求的特征向量；否则返回（ S2） （ S5）计算最大特征根，  ni kikiWWn 1 )()1(max~1 以上用幂法求最大特征根 max 对应特征向量的迭代方法，其收敛性由 TH1（教材 P325）中的 3） WeAe eAkTkk lim，其中11e ， W 是对应 max 的归一化向量  特征。 （证明：可以将 A 化为标准形证明）保证。 )0(W 任意选取，也可以取由“根法”、“和法 ”得到的nWWWW 21 注：在以上求特征根和特向量的方法中“和法”最简单。 16 例：在旅游问题中，求目标层到准则层的成对比较矩阵为 A 的特征向量和最大特征根： 准则层： 方案层： 1135131112513131211714155712334211A＝ 3 55712 利用“和法”求 A 的特征向量nWWW 1 和特征根max （ S1）将  nxnijWA的元素按列归一化得：  ~n x nijWA 173217454322 景色 费用 居住 饮食 旅途 P1 P2 P3 选择旅游地 17 （ S2）将  nxnWA ij~ 中元素 ijW~ 按行求和得各行元素之和： nj iji WW 1~~   WWA i ~~  （ S3）再 将上述矩阵向量归一化得到特征向量近似值，  10 09 05 47 26 51 49 27 31 99 1~1niiiWWW 特征向量 其中 )(~51  iW （ S4）计算与特征向量相对应最大特征根（的近似值）  515414313212111m a x511WWaWWaWWaWWaWWiaWWAnnjiijnjiijnjiijnjiijijni ii 18          515151 51 11 3 11 2 5 5 7 1233 4 151 故有最大特征根10 09 05 47 26 W , 08 a x 19 对 A 一致性检验指标： 8 0 50 8 0 a x   n nCI  CRRI 故通过检验。 十、应用实例 对前面旅游问题进行决策 目标层： A 准则层： 决策层： 已知：①目标 A 对准则 5 4, 3, 2, 1,i iB 的权重向量为：  TW  （由前面已算出），并已通过一致性检验。 ②准则 54321 , , , , BBBBB 相对于 321 , , PPP 的成对比较矩阵为 1B 对 321 , , PPP 作用的成对比较矩阵为： 15121521223332312322211312111YYbbbbbbbbbB 同样 2B 对 321 , , PPP 作用的成对比较矩阵为： 景色 B1 费用 B2 居住 B3 饮食 B4 旅途 B5 P1 P2 P3 选择旅游地点 20 1383113813111B 1311311333YYB 114。