定积分中的几何直观方法与不等式的证明(编辑修改稿)

定积分中的几何直观方法与不等式的证明(编辑修改稿)内容摘要：

引 理 1的证明中 几何意义 十分明显，参见 下面的 图 2。 （图 2） 如果注意到函数 1()pfxx（ 0p ）是下凸函数，利用 关于下 凸函数 图像的下列两条几何性质： 性质 1 任意两点间的弧段总在这两点连线的上方； 性质 2 曲线总在它的任一切线的上方。 那么可以对引理 1 中的不等式 （ 8） 进一步精细化， 得到 定 理 2 设 na 为等差数列且 1 0a ，公差 0d ， 0p ， 1p ， 1n ， 则 1 1 111111 1 1 1 1 1( ) ( )2 ( 1 ) 2p p pk k kp p p pk k k kd a a aa p d p a a a        （ 14） 证明 因为 1()pfxx（ 0p ）是下凸函数，由上述两条性质，得 11 1 11( ) ( )( ) 39。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kkk k k k kkkf a f af a f a x a f x f a x aaa        即得 1 11111111 1 1 1( ) ( )ppp kkk k kp p pk k k kaaa x a x aa p x a a a       （ 15） 对 （ 15） 两端在 1[ , ]kkaa 上积分，得 （ 14） 成立。 定理 2证明 的几何意义 ，可参考 下面 图 3。 （图 3） 推论 1 当 0p ， 1k 时， 有 1 1 11 1 1 1 1 1( 1 ) [ ( 1 ) ] [ ]( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 )p p pp p p pk k kk p k k k            该结果显然比 （ 4） 式 更为精细。 ３ 应用例 子 例 1【 １ 】 试求 1 1 112 3 1 0 0 0 , 0 0 0x     的整数部分 []x ． 解 由 （ 1） 式 ，得 1 9 9 921 0 0 0 0 0 12  x 于是可以判断 1998 1999x ，故 [ ] 1998x 。 例 2【 １ 】 试求 [50]x 的值，式中 1 1 11 0 , 0 0 0 1 0 , 0 0 1 1 , 0 0 0 , 0 0 0x    ． 解 由 命题 1， 可 得 1800  所以 [50 ] 9000x 。 例 3 设3 331 1 11 2 3 2 0 1 0x     ， 求不超过 x 的 最大整数 []x ． 解 对本 问题，如果运用命题 1或 命题 2将无法 计算，我们运用定理 1便会迎刃而解， 202011pkx k（ 31p ） ，令数列 na 的通项公式为 nan ， 31p ， 2020n ， 由定理 1， 可得。