可换矩阵的公共特征向量研究(编辑修改稿)

可换矩阵的公共特征向量研究(编辑修改稿)内容摘要：

                             ，2 1 21 2 1 0 20 1 1 1 1 22 2 0 0 2B                               ， 定理 1 中的 2211L ， 22 011L     ，即 ( 3) 0， 对 0 ， 122 2 01 1 0cc          ，得 21cc ，于是 公共特征向量为 1 1 2()c  ，即 111ccc， 1c 为任意不为零的常数。 对 3 ， 121 2 01 2 0cc          ，得 122cc ，于是 公共特征向量为 2 1 2(2 )c  ，即 22222ccc， 2c 为任意不为零的常数。 于是所有 公共特征向量的形式为： 02kk， kkk， 22kkk k 为任意不为零的常数。 2 一个反例 命题 1中对复数域的要求是必需的，而在文献 [2]中 P261却有如下一道习题： 习题 [2] 设矩阵 A 与 B 可交换，试证：如果 A 有特征 向量，则 ,AB一定有公共特征向量。 6 在文献 [3]中对该习题作出了如下解答： 解 [3] 设 ,AB是两个可交换的矩阵，系数在数域 P 中，并设其阶数为 n . ,AB可看成 n 维线性空间 nP 的线性变换 ,AB在基 12(1 , 0 , , 0 ) , (0 , 1 , , 0 ) , , (0,0, ,1)n  下的矩阵，从 ,AB可交换可推出 ,AB可交换 .如果 A 有特征向量，则 A 有特征值 0 .在 A 对于 0 的特征子空间中， ,AB有公共特征向量  ，  也是矩阵 ,AB的公共特征向量。 上述结论不真。 事实上，在实数域 R 上，取 AE ，令 B 是在实数域 R 没有特征值的任一方阵（这种矩阵是存在的，参见下例），则 AE 与 B 可交换， AE有特征向量，但 B 没有特征向量。 例 1 在实数域 R 上， 2AE （单位阵）， 0110B ，则 AB BA ， A 有特征值 1，从而有特征向量，但 B 在实数域 R 上没有特征值，自然没有特征向量 . 3 进一步的讨论 引 理 1 nnAC ， A 相似于对角阵  A 有 n个线性无关的特征向量 设 12, ...... n   为 A 的 n个线性无关的特征向量 . 令  12, ...... nP    则可逆 ,且 11 00 nP AP. 引理 2（哈密尔顿 凯莱定理） 设 A 是数域 P 上一个 nn 矩阵， fA  是 A 的特征多项式，则      11 1 2 2 1 nnn nnf A A a a a A A         0 . 引理 3 设    fR ，若  B f A ，则 A 的任一特征向量一定是 B 的特征向量 . 证明 ：令   10nnf a a a     ，又  B f A 7 ∴   11 1 0nnnnB f A a A a A a A a      . 由 A  有 nnA  ，则   11 1 0nnnnf A a A a A a A a          = 11 1 0nnnna a a a          =   11 1 0nnnna a a a f     。