关于收敛序列余项估计的一种精细化方法(编辑修改稿)

关于收敛序列余项估计的一种精细化方法(编辑修改稿)内容摘要：

n    12nD （ 11） 因此，有  112 1 2nDn   （ 12） 应用 2 Stirling 公式的新证明 为证明 Stirling 公式 ： 12 1lim ! 2n nn nne   令nnn enna !21 ， 则 11 211(1 )nnnaa e n  ，取对数，得 1 1 1 2 2 ( 2 1 ) 1l n l n ( ) l n ( 1 ) 1 l n 12 2 ( 2 1 ) 1nn nna a n nn          再令 12 1 nxn 则 (0,1)nx  ，则 1 111 1 1l n l n l n 1 ( l n )2 1 2 1nnn n nn n n nxxa a xx x x x      （ 13） 为了估计（ 13），考虑辅助函数： 11( ) ln21 xf x xx ， (0,1)x （ 14） 分别对 ()fx求导数，得 2239。 ( ) 1 xfx x  （ 15） 令 22( ) 39。 ( ) 1 xg x f x x，对 ()gx分别求一、二阶导数，得 22239。 ( ) 0(1 )xgx x， 2232639。 39。 ( ) 0(1 )xgx x 则 ()y gx 为严格单调递增的下凸函数，且 (0) 0g  ，示意图见图 3 （图 3） 于是，有 00 ( )x g t dt AOB  的面积 232212 1 2 (1 )xxx  ，即 3200 39。 ( ) 2 (1 )x xf t dt x  ， 故有 320 ( ) 2(1 )xfx x ，因此 3211 ln2 1 2 (1 )nnnxxx ，由 （ 13），得到 1 111l n l n ( l n )21 nn n nnn xa a xxx    22 12 (1 ) 8 ( 1)n nx x n n1 1 181nn 即得 1 1 1 1ln81nnaa n n ，于是，我们得到   nnnn eaea 8118 11  （ 16） 令 18nnnb a e 则 nn bb 1 ， nb 严格单调递减，但 nnba ，又因为 na 严格单调递增，得到 87111   ebbaae nn  ， 2n 由单调有界原理得知 na 与 nb 均收敛，且 lim limnnnnba 。 余下的问题就是如何确定收敛的值，应用瓦利斯公式可得其收敛于常数 21C，详情可参见文献 [12]，这里从略，至此公式获证。 致谢 对指导教师胡付高副 教授的悉心指导表示衷心的感谢。 参考文献 : [1] Rippon P L. Convergence with pictures[J]. ,93: 476～ 478. [2] Detemple D quicker Convergence to Euler’s constant[J]. . Monthly. 1993,100:468～ 470. [3] Young R M. Euler’s constant[J]. 1991,75:187～ 190. [4] 包那 . Euler 常数与 Euler 公式 [J].数学的实践与认识， 1988（ 4）： 53～ 62 [5] 孙燮华 . Euler 公式的推广及其精细化 [J].数学通报， 1982,11:22～ 25. [6] 田寅生 .一个不等式的指数推广及应用 [J].中学数学月刊 .2020， 9:20～ 23 [7] 胡付高 .一个不等式的简证及其几何直观 [J].中学数学 2020(2)： 7 [8] Detemple D W and Wang S integer approximations for the partial sums of the harmonic serirs[J]..,1991,160:237～ 258. [9] 欧阳光中 .近年来国外微积分 (数学分析 )教材介绍 (上 )[J].数学通报， 1992,1:30～ 33. [10] 张志军 . 殴拉常数和斯特林公式 [J].西北师范大学学报（自然科学版）， 1998. [11] 张志军 . 数学分析的一些新思想与新方法 [M].兰州：兰州大学出版社， 1998 [12] 张筑生 . 数学分析新讲（第二册） [M].北京： 北京大学出版社， 1990 [13] 徐利治 ,王兴华 . 数学分析的方法及例题选讲 [M].北京：高等教育出版社，1996 正定矩阵集上的凹性定理 卢兰秋 （孝感学院 数学系 021113132，湖北 孝感 432100） 摘 要： 本文将数学分析中的凹（凸）函数概念拓广到正定矩阵集上，给出了 Minkovski不等式的一种简单证法，进而证明了本文的主要结果： 对任意正定矩阵 A 、 B 及 01，有 l n (1 ) l n (1 ) l nA B A。