20xx年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(编辑修改稿)

20xx年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(编辑修改稿)内容摘要：

1BFH 的距离为 1． 故填 138B EFGV  ． 11. 由三个数字 2 、 3 组成的 5 位数中 , 2 、 3 都至少出现 1 次 , 这样的 5 位数共有 150 个 . 解：在 5 位数中 , 若 1 只出现 1 次，有 1 1 2 35 4 4 4( ) 7 0C C C C   个； 若 1 只出现 2 次，有 2 1 25 3 3( ) 60C C C 个； 若 1 只出现 3 次，有 315220CC 个． 则这样的五位数共有 150 个． 故填 150 个． 12. 已知平面上两个点集 22{ ( , ) | | 1 | 2 ( ) , ,M x y x y x y x y     R}, {( , ) | | | | 1 | 1 , ,N x y x a y x y     R}. 若 MN , 则 a 的取值范围是 [1－ 6， 3+ 10] ． 解：由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10xy   为准线的抛物线上及其凹口 内侧的点集， N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集 (如图 )． 考察 MN 时 , a 的取值范围 : 令 1y , 代入方程 22| 1 | 2 ( )x y x y    , 2 1 4 63 5 71yx123123O 5 得 2 4 2 0xx   ，解出得 26x ． 所以， 当 2 6 1 1 6a      时 , MN ． ………… ③ 令 2y ，代入方程 22| 1 | 2 ( )x y x y   , 得 2 6 1 0xx   . 解出得 3 10x ．所以， 当 3 10a 时 , MN ． ………… ④ 因此 , 综合 ③ 与 ④ 可知 ，当 1 6 3 10a   ，即 [1 6 , 3 10 ]a    时 , MN ．故填 [1 6,3 10]. 三． 解答题 (第一题、第二题各 15 分 ； 第三题、第四题各 24 分 ) 13. 已知点 M 是 ABC 的中线 AD 上的一点 , 直线 BM 交边 AC 于点 N , 且 AB 是 NBC 的外接圆的切线 , 设 BCBN  , 试求 BMMN (用  表示 ). 证明：在 BCN 中，由 Menelaus 定理得 1BM NA CDM N AC D B  ． 因为 BD DC ，所以 BM ACMN AN ． ……………… 6 分 由 ABN ACB  ，知 ABN ∽ ACB ，则 AB AC CBAN AB BN． 所以， 2AB AC C BAN AB BN， 即 2 BNBCANAC． …………………… 12 分 因此， 2 BNBCMNBM． 又 BCBN  ， 故 2BMMN  ． …………………… 15 分 14. 求所有使得下列命题成立的正整数 ( 2)nn : 对于任意实数 12, , , nx x x , 当 1 0nii x  时 , 总有 11 0niii xx  ( 其中 11nxx  ). ABCDNM 6 解： 当 2n 时，由 120xx，得 21 2 2 1。