lebesgue积分的拓展研究(编辑修改稿)

lebesgue积分的拓展研究(编辑修改稿)内容摘要：

4．积分的极限定理 ． 6 丁宜浩 黄东来．勒贝格积分三种定义的等价证明［ J］ ． 桂林电子工业学院学报第 2 期． 2020． 这篇论文给出了 3 种形式各异的勒贝格积分定义并证明了其等价性，使读者能从不同角度理解勒贝格积分． 7 毛约平 ． L 积分的三大极限定理在 qER 时的等价性证明［ J］．大庆师范学院学报第 27 卷． 2020． 论文将 Lebesgue 积分的三大极限定理联系起来进行研究，在由 Lebesgue 控制收敛定理证 明 Levi 定理，再由 Levi 定理证明 Fatou 定理的基础上，给出了由Fatou 定理到 Lebesgue 控制收敛定理的一个证明． 8 胡绍宗 勒贝格定理的有趣证明及黎曼函数的可积性［ J］ ． 阜阳师范学院学报第 17 卷 .2020． 勒贝格定理是研究黎曼积分和勒贝格积分的重要工具．本文是从振幅的角度证明勒 贝格定理，并给出典型例子加以说明． 附 论文里常的公式概念 （ 1）德摩根公式： ()C A C A ss， ()C A C A ss （ 2）博雷尔集（ Borel ）：凡从开集出发，用取余集，取有限并或可列并，有限交或可列交等手续不起过可数多次而得到的集合，都称为 Borel 集． （ 3）可测集：通俗地说，凡零测度集，区间，开集， G 型集， F 型集， Borel茂名 学院本科毕业 (设计 )论文 :Lebesgue 积分的拓展研究 8 集都是可测集． （ 4） lim {nn Ax 当 n 充分大以后都有 }nxA ． （ 5） lim {nn Ax 存在无穷多个 nA ，使 }nxA ． （ 6） lim ( ) su p ( in f ( ) )nmmnn nf x f x ． （ 7） lim ( ) in f ( s u p ( ) )nmnn mnf x f x ． （ 8） ( l im ) l im l im ( l im )n n n nnnm E m E m E m E    （ 9）几乎处处：设  是一个与集合相关的命题，如果存在 E 的子集 M ，适合 0mM ，使得  在 \EM上恒成立，则称  在 E 上几乎处处成产，记作 ..ae 成立． （ 10）设11( ) i n f { ( ) , ( ) , ...}n n nnU x f x f x，则 lim ( ) lim ( )nnn nU x f x ． （ 11）设11( ) su p { ( ) , ( ) , ...}n n nnV x f x f x，则 lim ( ) lim ( )nnnnV x f x   ． （ 12）设 { ( )}n x E 上非负递增函数列，且 lim ( ) ( )nn xx ，则对于任取自然数 N ，函数列 {[ ( )] }nNx 是一致有界的，并且 lim [ ( )] [ ( )]n N Nn xx ． 第 二 章 :可测函数 9 第二章 可测函数 实变函数是 建立在可测函数基础上的积分理论．本章我们对可测函数进行某些深刻的探讨，我们会发现可测函数不是连续函数的简单推广，这是定义在测试论基础上构造出来的，但它能把连续函数，可导函数，单调函数作为特例加以概括，能够证明，区间上的任意连续函数都是可测函数，而狄利克雷函数则是不连续的可测函数，它比连续函数要宽泛得多． 可测函数定义 的几种等价性 实变函数论中核心的内容之一是建立在可测函数类上的 Lebesgue 积分理论．因此欧氏空间中 Lebesgue 意义下可测集（简称可测集）上的可测函数，如同连续函数是数学分析中主要研究对象一样，是实变函数认（简称实变）中研究的主要对象．实变主要限于考虑可测函数类，是因为只有可测函数才便于应用测度论，尤其是基于测度的 Lebesgue 积分，只能用于可测函数．因而可测函数概念是实变中的一个基本概念。 透彻理解和掌握这一概念，对学好 Lebesgue 积分理论无疑是非常重要的． 目前实变的 各 类著作（包括教材，论文）中定义的可测函数概念形式上不尽相同．本文在 n 维欧氏空间 nR 中归纳出有关可测函数五种常见的定义，并通过对它们等价性的证明和评论，加深对可测函数定义的理解，从而更好地把握这一概念的实质，开拓研究问题的思路，培养创造性思维的能力． 五种常见的可测函数定义 定义 1 设 ()fx为定义在 L 可测集 nER 上的 实函数，如果对任何有限实数a ， []E f a 都是可测集，则称 ()fx为定义在 E 上的 Lebesgue 可测函数（简称可测函数）． 注 1：事实上，用这种方式定义可测函数，定义中的判断条件 []E f a 改为： （ 1） 对任何有限实数 a ， []E f a 都是可测集； （ 2） 对任何有限实数 a ， []E f a 都是可测集； （ 3） 对任何有限实数 a ， []E f a 都是可测集； （ 4） 对任何有限实数 a ， b ()ab ， []E a f b 都是可测集， 结果都是等价的． 定义２ 设 ()fx为定义在 L 可测集 nER 上的实函数，若存在 E 上的简单函数列 { ( )}n x ，使得 lim ( ) ( )nn x f x  ()xE ，则称 ()fx为 E 上的可测函数． 茂名 学院本科毕业 (设计 )论文 :Lebesgue 的拓展研究 10 定义３ 设 ()fx为 L 可测集 nER 上几乎处处有限的实函数，若 0，存在闭集 FE ，使得 ()m E F ，且 ()fx在 F 上连续，则称 ()fx为 E 上的可测函数． 这实质上就是鲁津定理 (见第三节 ) 定义４ 设 ()fx为定义在 L 可测集 nER 上的实函数， ,若任给 nR 中开集G (闭集 F )，有 1()fG 1( ( ))fF 为 L 可测集，则称 ()fx为 E 上 的可测函数． 定义５ 设 ()fx为定义在 L 可测集 nER 上的非负实函数， ()fx在 E 上的下方图形 ( , ) { ( , ) , 0 ( ) }G E f x y x E y f x   为 L 可测集，则称为 E 上非负可测函数． 一般地， ()fx为 L 可测集 nER 上的实函数，若 ( ) m a x{ ( ), 0}xEf x f x ，( ) m a x { ( ), 0}xEf x f x 均为 E 上的非负可测函数，则称 ()fx为 E 上的可测函数． 定义注释 纵观上述五种可测函数的定义，其实它们都是等价的．他们是从不同的角 度描述了这一概念，从而使我们对这一概念获得较全面而深刻的领会， 且受到研 究问题思维方法的启示，各 个定义都有自己的优势 和 局限，在深刻理解和掌握它们后，就可根据不同问题的条件和需要，灵活地采用某种定义去解决这些问题，使可测函数具有更广泛的应用，以达到培养创造性思维能力的目的． （ 1）定义 1 从函数 ()fx的水平集 []E f a 的可测性角度描 述函数可加性．该定义通常是根据建立 L 积分所需要的条件而引入可测函数概念的，比较自然，且简捷明快，故易于理解和接受；其次，该定义与测度论联系紧密，便于运用测度论知识来研究函数的可测性，故一般的实函数教材通常多采用这一形式来定义可测函数．但这一定义不易看出可测函数的结构，可能易将函数的可测性与点集的可测性相混淆． （ 2）定义 2 和定义 3 是从不同构造逼近的角度，利用简单函数类，连续函数类关于极限运算的非封闭性，分别用简单函数，连续函数列的极限来刻画可测函数的．定义 2 表明可用简单函数去逼近比连续函数更为广泛的可测函数；定义3 表明 L 可测集 E 上的可测函数 f ，可用含于 E 的一列闭集 F 上的连续函数 nf 去逼近，或在 E 中挖去一 个使得余集为闭集的测度可任意小的集之后，将 f ＂改造＂成为连续函数．这使得我们把握住了可测函数的结构和实质；可以将可测函数问题转化为简单函数或连续函数的问题，使问题得到简化，用熟悉的知识去处理和研究可测函数问题．但这两个定义并未给出具体的构造方法，而要构造满足要求的简单函数列或闭集并非易事． （ 3）定义 4 是从映射的角度来描述可测函数的本质属性的．它表明可测函第 二 章 :可测函数 11 数 f 的逆映射 1f 是两个子不同的 Borel 集类到 L 可测集类之间的一各对应．特别地， f 为连续函数   开集 nGR ， 1()fG 为开集，而开集是 L 可测的．可见，连续函数是可测函数的一个特例，或者说可测函数是连续函数的一种推广．这一定义还可以使我们对可测函数有更广泛和抽象的认识．定义 4 的缺点是对初学者不易理解，不过学过点集拓扑的初学都是完全没问题的． （ 4）定义 5 是从几何图形的角度提示可测函数的特性．它表明 L 可测集 E 上非负实函数 f 的可测性，是由 n 维 L 可测集 E 和其上 f 的图象所确定的 1n 维点集 ( , )GE f 的 L 可测性所决定的，它给出了非负可测函数的 几 何意义，这一定义，定义直观易懂，并可为稍后建立的 L 积分获得明显的几何意义，可将 L 积分值的计算转化为相应点集测度的计算，为 L 积分计算和利用测度论知识研究 L 积分开辟一 个途径．但这一定义要分两步来处理，先 对非负函数后转化为一般函数再行研究，显得较繁琐，而且这一定义不利 于进一步作抽象的推广． 可测函数在可测集上的运算 可测函数是从测度的观点来展开研究的，本节通过可测函数之间的不等式关系，来讨论它们 在可测集上的测度大小，并且为下节介绍三大收敛定理时作准备． [1]引 理 设 ()fx与 ()gx 为 E 上的可测函数，则 []E f g 与 []E f g 都是可测集． 证明 因 [ ] [ ]E f g E E f g   ，故只须证明 []E f g 可测． 设 0 []x E f g，亦即 00( ) ( )f x g x ，则必存在有理数 r ，使 00( ) ( )f x r g x ，亦即 0 [ ] [ ]x E f r g r  ，反之亦然． 因此，设有有理数全体为 1 2 3, , ,...r r r ，则 1[ ] ( [ ] [ ] )nnnE f g E f r E g r   ， 由可测 集的性质，等式右边显然都是可测集．证毕． [12]1定 理 设 ()fx与 ()gx 是定义在 nER 上的可测函数，若 xE ，有( ) ( )f x g x ，则 aR ，有 （ 1） [ ] [ ]m E f a m E g a  ， （ 2） [ ] [ ]m E f a m E g a  ． 证明 （ 1）对 aR ， []x E f a   ，有 ()f x a ，又 ( ) ( )f x g x ，从而( ) ( )g x f x a，因而有 [ ( ) ]x E g x a且 [ ] [ ]E f a E g a  ， 所以 [ ] [ ]m E f a m E g a  ． （ 2）对 aR ，由于 [ ] [ ]E f a E g a  ，有 茂名 学院本科毕业 (设计 )论文 :Lebesgue 的拓展研究 12 [ ] [ ]EEC E f a C E g a  ，即 ] [ ]E f a E g a  ， 所以 [ ] [ ]m E f a m E g a   [12]2定 理 设 ()fx， 1()gx， 2()gx为 E 上的可测函数，若对 xE ，有 12( ) ( ) ( )f x g x g x，则对 aR ，有 12[ ] [ ] [ ]22aam E f a m E g m E g    ． 证明 反证法． 对 []x f a   ，有 ()f x a ，假设1()2agx且2()2agx，有12( ) ( ) 22aag x g x a   ，而由 12( ) ( ) ( )f x g x g x推知 ()f x a ，与前面假设矛盾．所以12( [ ] [ ] )22E aax C E g E g   由德摩根公式，我们得到12[ ] [ ]22aax E g E g  ，从而12[ ] [ ] [ ]22aaE f a E g E g   ，进而推出 1 2 1 2[ ] ( [ ] [ ] ) [ ] [ ]2 2 2 2a a a am E f a m E g E g m E g m E g       ． 现在我们 再 把定理 2 逐步推广到无限个函数上． 定理 3 设 ()fx， 1()gx。