20xx年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解(编辑修改稿)

20xx年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解(编辑修改稿)内容摘要：

x y x y       万学教育 海文考研 第 5 页 共 10 页 （ 13） 矩阵 A 的特征值是 ,2,3 ，其中  未知，且 2A =48， 则  =_______. 解：  =1 分析：由矩阵特征值与矩阵行列式之间的关系得， 2 3 6   ，故  =1 （ 14） 设 A 为 2 阶矩阵， 12,aa为线性无关的 2维列向量， 1 2 1 20 , 2Aa Aa a a  ，则 A 的非零特征值为  . 解： 1 分析：1 2 1 2 1 2 1 2 02( , ) ( , ) (0 , 2 ) ( , ) 01A A A             记 12( , ),PP 可逆，故 1 0201P AP B  A 与 B 有相同的特征值 2 ( 1 )01EB      ， 1,2 0,1  ，故非零的特征值为 1。 三、解答题： 15－ 23 小题，共 94 分 .请将解答写在答题纸指定的位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . (15)（本题满分 10 分） 求极限  40s in s in s in s inlimxx x xx. 解： 4300( s in s in s in ) s in s in s in s inl im l imxxx x x x xxx20 c o s c o s( sin ) c o slim 3x x x xx  200c o s ( 1 c o s ( s in ) ) s in ( s in ) c o sl im l im36xxx x x xxx 0sin 1lim 66xxx (17)（本题满分 10 分） 求积分 2120arcsin1xxdxx 解： 分析：令 sinxt ，则 221 2200a r c s i n s i n c o sc o s1x x t td x td ttx   222001 1 1c os 22 2 4 16td t t tdt     (18)（本题满分 10 分） 求函数 2 2 2u x y z   在在约束条件 22z x y和 4x y z   下的最大和最小值 . 万学教育 海文考研 第 6 页 共 10 页 解：设 2 2 2 2 212( , , ) ( ) ( 4 )F x y z x y z x y z x y z          得方程组 22( , , ) 0( , , ) 0( , , ) 0040xyzF x y zF x y zF x y zx y zx y z        即121212222 2 02 2 020040xxyyzx y zx y z              ， 解得 228xyz 或 112xyz 得 2 2 2m a x ( 2 ) ( 2 ) 8 7 2U      . 2 2 2m in 1 1 2 6U    . (19)（本题满分 10 分） 曲线 ()y f x 满足 (0) 1f  对于任意的 t 曲线是严格递增，在 x 轴上 0t ，该曲线与直线 0, ( 0)x x t t  及 0y 围成一 曲边梯形 .该曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 ()Vt,侧面积为 ()St .如果 ()fx二阶可导 ,且 ()2()StVt，求曲线 ()y f x . 解：旋转体体积 20() tV t y。