20xx年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案详解(编辑修改稿)

20xx年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案详解(编辑修改稿)内容摘要：

z (, )xy 是由方程  22x y z x y z    所确定的函数，其中  具有 2 阶导数且 1 时 ，求 (1)dz （ 2）记   1, zzu x yx y x y  ，求 ux . 解： ①   22x d x y d y d z x y z d x d y d z         第 6 页 共 12 页      1 2 2d z x d x y d y              221x d x y d ydz       1 ②  1, ( )1 2 2()111 2 2 211zzu x yx y x yxyxyyxxy                      2 2 3 322 ( 1 )2 ( 1 )2 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 )11 1 1 1xzu x xxx                             (17) （本题满分 10 分） fx是周期为 2 的连续函数， （ 1）证明对任意实数都有    220tt f x dx f x dx  （ 2）证明      20 2xttg x f t f s d s d t是周期为 2 的周期函数 ． 解： （ 1）对于  2tt f x dx，令 2xu ，则    20 2ttt f x dx f u du  因为 fx的周期为 2，所以    220ttf x dx f x dx  所以          2 0 2 2 20 2 0ttf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx        （ 2）      22022xttg x f t f s d s d t          2 2 20 x t x tt x tf t f s d s d t f t f s d s d t                       222xtg x f t f s d s d t        2 2 22 x x tx x tg x f t dt f s ds dt       因为    220tt f x dx f x dx  所以    2 2 2 20x t xx t xf s d s d t f s d s d t      第 7 页 共 12 页    222020xxt f s d s f s d s       22022xx f x dx f x dx  所以          22002 2 2g x g x f t dt f s ds g x     所以 gx是周期为 2 的周期函数 (18) （本题满分 10 分） 求二重积分 max( ,1) ,D xy dxdy其中 { ( , ) 0 2 , 0 2 }D x y x y     解：  m ax ,1D xy dxdy 112 2 2 221 1 10 0 022 1 5 1 91 1 1 2 l n 2 l n 2 l n 244x xd x d y d x d y d x x y d y              (19) （本题满分 10 分） 已知 年 复利 为 ，现存 a 万元，第一年取出 19 万元，第二年取出 28 万元， … 第 n 年取出 10+9n 万元，问 a 至少为多少时， 可以一直取下去。 解：由题得 0 . 0 5 0 . 0 5 2 0 . 0 50 . 0 5 0 . 0 51111 9 2 8 ( 1 0 9 ) 1 0 9 1 0 91nnnnnnna e e n ee n ee nee          设 1( ) 9nxnf x ne  两边求积分 0 . 0 5 0 . 0 500 11。