20xx年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题及试题参考答案(编辑修改稿)

20xx年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题及试题参考答案(编辑修改稿)内容摘要：

, xxx  逐步调整到 1，这时2402221 xxx   将增大。 于是，当 3921 , xxx  均为 1， 1940x 时， 2402221 xxx   取得最大值，即 40019111239222     个A。 若存在两个数 , ji xx 使得 ),401(2  jixx ij则 222222 )1(2)1()1( jiijjiji xxxxxxxx  ，这说明在 3921 , xxx  40,x 中，如果有两个数的差大于 1，则把较小的数加 1，较大的数减 1，这时， 2402221 xxx   将减小。 所以，当 2402221 xxx   取到最小时， 4021 , xxx  中任意两个数的差都不大于 1。 于是当2,1 4024232221  xxxxxx  ， 时 ， 2402221 xxx   取 得 最 小 值 ， 即94222111 18 22222 222         个个B。 故 A+B=494。 三、解答题（共 4 题，每小题 15 分，满分 60 分） 1 8 个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘 4 人（不包括司机）。 其中一辆小汽车在距离火车站 15km 的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有 42 分钟。 这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘 5人，且这辆车的平均速度是 60 km/h，人步行的平均速度是 5 km/h。 试设计两种方案，通过计算说明这 8个人能够在停止检票前赶到火车 站。 解 ：【方案一】当小汽车出现故障时，乘 这辆车的 4个人下车步行，另一辆车将车内的 4个人送到火车站，立即返回接步行的 4 个人到火车站。 设乘出现故障汽车的 4 个人步行的距离为 x km，根据题意，有 6015155 xx  ， 解得 1330x .因此这 8 个人全部到火车站所需时间为 （分钟）（分钟）（小时）＝＋ 4213540523560)133015(51330 。 故此方案可行。 „„„„„„„„„„„„„„ 10 分 【方案 二】当小汽车出现故障时，乘这辆车的 4 个人先下车步行，另一辆车将车内的 4 个人送到某地方后，让他们下车步行，再立即返回接出故障汽车而步行的另外 4 个人，使得两批人员最后同时到达车站。 分析此方案可知，两批人员步行的距离相同，如图所示， D 为无故障汽车人员下车地点， C 为有故障汽车人员再次上车地点。 因此，设 yDBAC ＝＝ ，根据题意，有 60 y215155 －＋yy  ， 解得 2y。 因此这 8 个人同时到火车站所需时间为 分钟）（（分钟）＝小时 4237)(603760 21552  故此方案可行。 „„„„„„„„„„„„„„ 15 分 1某校举行春季运动会时，由若干个同学组成一个 8 列的长方形队列。 如果原队列中增加 120 人，就能组成一个正方形队列。 问原长方形队列有同学多少人 . 解 ：设原长方形队列有同学 x8 人，由已知条件知 1208＋x 和 1208 x 均为完全平方数。 于是可设   .1208 ,1208 22nx mx 其中 nm, 均为正整数，且 nm。 „„„„„„„„„„„„ 5 分 ○ 1 － ○ 2 ，得 24022 nm ，即 532240))(( 4  nmnm . 由 ○ 1 、 ○ 2 可知， 22,nm 都是 8 的倍数，所以 nm, 均能被 4 整除。 于是 nm ， nm 均能被 4整除。 所以      .12 ,20。 4 ,60 nm nmnm nm 或 解得    .4 ,16。 28 ,32 nmnm 或 „„„„„„„„ 10。