mba全套教材之高级微观经济学第五章(编辑修改稿)

mba全套教材之高级微观经济学第五章(编辑修改稿)内容摘要：

充了原 来的 von NeumannMenstern效用函数概念。 当一个预期效用函数 RSDu )(: 是 )(SD 上的某个偏好关系 的效用表示时，就称 u 是的 预期效用表示 ，或者称 u 是 的 预期效用函数。 具有预期效用表示的偏好关系，也就叫做 预期偏好。 （一）预期效用公理 下面看一看在什么条件下，一个偏好关系的预期效用函数存在。 为此，设 是风险选择集第五章 不确定条件下的选择 93 合 )(SD 上的一个偏好关系。 我们需要对 提出一些附加性公理。 阿基米德公理 ． 对于任何的 )(, SDhgf  ， 如果 hgf  ，则存在 )1,0(, qp 使得hqqfghppf )1()1(  。 独立性公理 ． 对于任何的 )(, SDhgf  及任何实数 ]1,0[p ， 如果 f g ， 则hppf )1(  hppg )1(  连续性公理 ． 对于任何的 )(, SDhgf  ， 集合 gppfp )1(:]1,0[{  }h 和集合gppfp )1(:]1,0[{  }h 都是闭集。 这三条公理称为 预期效用公理 ，其几何直观意义如图 52所示。 阿基米德公理的经济含义是，如果随机行为 g 的好坏程度介于 f 和 h 之间，那么必然存在 f 与 h 的两种复合行为 hppfa )1(  和 hqfqb )1(  ，使得 g 的好坏程度介于 a 和b 之间。 独立性公理的经济含义是，如果随机行为 f 不优于 g ，那么对于任何第三种随机行为 h 来说， f 与 h 的任何复合行为 hppfa )1(  必然也不优于 g 与 h 的相应的复 合行为hppgb )1( 。 从独立性公理立即可知，当 f g ，即 f 与 g 无差异时，复合行为hppfa )1(  与 hppgb )1(  也无差异。 连续性公理是拓扑意义下关于偏好连续性的一般性要求。 实际上，连续性公理蕴含着阿基米德公理。 因此，阿基米德公理是关于偏好序 连续性的最弱要求。 预期效用函数定理 ． 设 是风险选择集合 )(SD 上的偏好关系。 具有预期效用表示当且仅当 服从阿基米德公理和独立性公理。 当 具有预期效用表示时， 的预期效用函数在仿射变换下是唯一的，即若 u 和 v 都是 的预期效用函数，则必存在实数 a 和 0b ，使得对一切)(SDf ，都有 )()( fbuafv 。 本定理的证明过于复杂，这里省去。 感兴趣的读者可参考费希博恩的著作《决策的效用理论》 (. Fishburn, Utility Theory for Decision Making, New York: Wiley,1970)。 另外，费希博恩还在这部著作中给出预期效用的积分表示形式，从而使得预期效用问题得到了圆满解决。 下面我们 介绍费希博恩关于预期效用的积分表示理论。 （二）预期效用的积分形式 设概率空间 ),( P 中的自然状态集合  就是确定性条件下消费者的选择集合 S ，即RS。 这样做的经济意义是：在不确定性的环境中，消费者能够估计出每一种随机行为  下选择到 S 的一个子集合 B 中的向量的可能性大小，即能估计出概率 })({ BP  ，这就象抽彩人能够知道每种彩票获得各种奖品的概率大小一样。 同前面一样，对于 Sx ，用 x 表示取值为常向量 x 的随机向量，用 x 表示 x 的分布函数。 于是可以认为， xxx  ，从而可以认为 )()( SXSDS 。 另外，我们要求 S 的每个单点子集 )(}{ Sxx  都是  的元素。 这就是说，消费者能够估计出每一种随机行为  下选择到 S 中的一个向量 x 的可能性大小。 g h f b b g a a g f h f •h (a) 阿基米德公理 (b) 独立性公理 (c) 连续性公理 图 52 预期效用公理 第五章 不确定条件下的选择 94 作了这样的看待后，如果 是 )(SD 上的偏好关系，那么 同时规定了消费者在 S 上的偏好关系。 也就是说，对于 Syx , ， x y 是指 x y。 定义 (可测的偏好 )． )(SD 上的偏好关系 叫做是可测的，是指对于任何的 Sx ，集合ySy :{  }x 和 ySy :{  }x 都是  的元素。 单调性公理 ． 对任何 X 及 Sx ，如果 )( x 几乎对所有  都成立，则  x ；如果 )( x 几乎对所有的  都成立，则  x。 换个说法，单调性公理是说，对于任意的 )(SDf 、 A 及 ASx  ，设  为 f 的密度函数，当 1),(2121    dxdxxdxxxA 时， (1) 如果 y x 对一切 Ay 成立，则 f x ； (2) 如果 y x 对一切 Ay 成立，则 f x。 对此，我们作一点解释。 条件 1),(2121    dxdxxdxxxA 是说，随机选择行为 f 的选择结果几乎总是出现在集合 A 中，即几乎总是选择 A 中的商品向量。 (1)是说，如果 A 中每个向量对消费者的效用都没有 x 的效用大，那么随机选择 f 的效用也就没有 x 的效用大。 (2)是说，如果 A 中每个向量对消费者的效用都不比 x 的效用小，那么随机选择 f 的效用也就不比 x 的效用小。 预期效用的积分表示 ． 设 ),( P 为概率空间， RS ， }{x 对一切 Sx 成立，是 )(SD 上的可测偏好关系，并且服从阿基米德公理、独立性公理和单调性公理。 则 存在一个有界可测实值函数 RSU : 使得对一切 )(, SDgf  ，都有 f( )g    SS xdgxUxdfxU )()()()( 而且这个函数 U 在仿射变换下是唯一的。 预期效用函数概念是 von NeumannMenstern 效用函数概念的扩展，而预期效用的积分表示中的效用函数 U ，才是原来意义下的 von NeumannMenstern效用函数。 鉴于 此，当一个有界可测实值函数 RSU : 满足如下条件时：  )(, SDgf   f( )g    SS xdgxUxdfxU )()()()(  就称 U 是偏好关系 的 von NeumannMenstern(简称 VNM)效用函数。 积分表 示定理说明，一般情况下偏好关系的 VNM效用函数都是存在的。 特别地，当概率空间和偏好关系 满足积分表示定理的条件且 RS 时，存在 的 VNM效用函数 RRU : ，从而存在通常意义下的预期效用 EU ：对于任何 )(SDf ，    ),(),()( 2121   xxxdfxxxUfEUEU 一般情况下，如果我们只知道风险选择集合 )(SD 上的某个偏好 关系 的预期效用函数RSDu )(: ，而不知道 的 VNM效用函数是否存在，那么由于 u 具有预期效用性质，我们可以直接认为 )(fu 就是随机选择行动 )(SDf 的效用的预期值 )(fEU。 预期效用函数存在定理和预期效用的积分表示定理告诉我们，在带有不确定性的选择环境中，当影响人们选择的自然状态概率空间存在时，也即当不确定事件发生的概率 可以确定时，人们对各种随机选择行动的好坏评价虽然是依照个人偏好进行的，但这实际上是预期效用在起着作用，也就是说，人们对随机行为实际上是依照预期效用大小进行评价的。 第五章 不确定条件下的选择 95 第三节 主观概率 上一节解决了风险选择情况下偏好关系的预期效用表示问题，建立了预期效用公理体系，证明了服从这套公理体系的经济行为背后必然有预期效用的支持。 然而，我们对进入预期效用函数的“概率”的确切性质还不太清楚。 直接的解释可以说它们是客观存在的，即“客观概率”，比如是在对频率观察的基础上计算出来的概率。 但我们也不止一次地提到，决策者可根据 自己的经验、自己掌握的信息和知识对事件发生的概率作出判断或估计，这种判断当然因人而异，与个人的主观感觉不无关系，因而是“主观概率”，即决策者主观上认为的某些事件发生的可能性。 如果所涉及的只是客观概率，那么经济决策涉及的就只是风险。 如果涉及到主观概率，那么经济活动的性质就带有真正意义下的不确定性，即不肯定性。 事实上，在实际经济决策活动中，决策者涉及的的一般都是主观概率与客观概率的混合。 可见对于主观概率的研究，在不确定性问题研究中相当重要。 象用预期效用公理体系来推断预期效用函数存在一样，我们也可以问：关于选择 行为的何种公理体系能够用于推断主观概率的存在。 即在什么样的公理体系下，一个人在不确定情况下的选择行为可以视为他好象根据某种主观概率度量的预期效用来进行决策。 幸运的是，这种公理体系确实存在并且合理似然，它是由萨维奇 1954 年构建的， 1972年又对其进行了修订、补充和完善。 迄今为止，萨维奇的结果一直处于领先地位，还未见到在不确定性决策公理化研究方面出现其完美性超过萨维奇的其它结果。 下面，我们对萨维奇的主观概率公理体系作一概要介绍。 想了解具体细节的读者，可参考萨维奇的《统计分析基础》 (. Savage, Foundation of Statistics, New York: Dover Publications, 1972)。 一、不肯定性行为的表述 不肯定性条件下决策者的选择结果依赖于某些自然状态，而事件发生的概率却未必是客观存在的。 用  表示所涉及的一切自然状态构成的集合，称为 状态空间。 用 )( 表示  的幂集，即  的所有子集之集族，也 可简记为  ，即 )(。  中的元素称为 事件。 用 S 表示一切可能出现的选择结果的集合，称为 确定性选择 集合。 假定 S 是实数集合 R 的子集。 决策者的行为可用一个映射 S: 表示，其意义是说决策者的选择依赖于出现哪种自然状态： 如果状态  出现，那么他就选择 )(。 但究竟选择 S 中哪一个结果，则不得而知，并且不知道选择到 S 中的一个结果的概率有多大。 这样的选择行为才是真正意义上的不确定性行为。 用 X 表示一切可能的不肯定性行为的全体，即 X 是由所有从  到 S 的映射构成的集合，称为决策者的 选择集合 或者称为决策者的 行为空间。 对于不确定性行为 X ，集合 }:)({][   称为  的 结果集合。 注意，结果集合 S 中的每种结果 x 都代表一种 (实际上不带有不确定性的 )“不确定性”行为 Sx : ：对任何  ， xx )(。 称这个行为 x 为 确定性行为 ，并把 x 与 x 等同看待。 作了这个说明之后，我们今后将不在区分 x 与 x ，并且直接用 x 表示 x。 也就是说，我们认为 XS。 在不确定条件下，决策者要根据自己的判断来在选择空间 X 中选择一种行动，这意味着决策者在 X 上有一个偏好关系 ，它对各种行为的好坏作出了排序。 由于 XS ，因此 X上的偏好关系 确定了 S 上的偏好关系 (仍用 表示 )，即可用 对 S 中的各种结果排出好坏次序来。 需要注意，对于 X 和 Sx ，  x 和 )( x 具有不同的意义：  x 表示行为 不比确定性行为 x 优；而 )( x 表示结果 )( 不比结果 x 优，或者说把结果 )(y 也第五章 不确定条件下的选择 96 当成一种行为 y 来看待的话，确定性行为 y 不比确定性行为 x 优。 (一 ) 状态分划 为了研究不确定性，人们往往会依据某种原则对影响人们选择的各种可能的不确定性因素 (即自然状态 )进行分门别类。 这种做法体现为对状态空间进行分划。 所谓状态空间  的一种 分划 ，是指由  的有限个互不相交的子集构成的集族 },{)( 21 mmi FFFFF  ，满足条件  mFFF 21。 (二 ) 复合行为 设 },{)( 21 mmi FFFFF  是状态空间  的一个分划， m , 21  是一系列不确定性行为。