ch2第二章微积分(编辑修改稿)

ch2第二章微积分(编辑修改稿)内容摘要：

T 为周期的函数图象沿 x 轴方向左右平移 T 的整数倍数 , 图象将重合． 下面的 tan x 图象显示了 周期 的特性 : 10 5 5 1020101020 图 例 求函数 y = 5sin(x)的周期． 解 . 因 y = 5sin(x) = 5sin(x+2 ) = 5sin[(x+2 )] , 故该函数的周期是 2． 一般 , sin x 的周期为 2   ． 3. 函数的单调性 定义 . 给定函数 f (x), x fD , 设 (a, b) fD , 若对任意 x1, x2 ( a , b ), x1 x2 , 1) 有 f (x1) f (x2) , 则称 f (x)在 ( a, b)单调增加。 2) 有 f (x1) f (x2) , 则称 f (x)在 ( a, b)单调减少。 3) 有 f (x1)  f (x2) , 则称 f (x)在 ( a, b)单调不减。 4) 有 f (x1)  f (x2) , 则称 f (x)在 ( a, b)单调不增 . 单调增加与单调减少分别简称为 递增 与 递减． 4 2 2 4 x51015y 20 10 10 20 x123y 图 递增 函数 图 递减 函数 1 2 3 4 x123y 1 2 3 x12y 图 不减 函数 图 不增 函数 例 y = x2在 (  , 0 ) 递减 , 在 [ 0 , + ]递 增 ,其图象如下： 图 4. 函数的有界性 定义 . 给定函数 f (x), x fD , 集合 X  fD , 若存在正数 M 使得 1) 对任何 xX , 有  f (x)   M , 则称 f (x)在 X 有界 , 否则称为 无界 . 2) 对任何 xX , 有 f (x)  M , 则称 f (x)在 X 有上界 , 否则称为 无上界 . 3) 对任何 xX , 有 f (x)   M , 则称 f (x)在 X 有下界 , 否则称为 无下界 . 注 . 集合 X 可以是闭区间 [a,b], 开区间 (a,b), 也可以是半开半闭区间  ba, 或  ba, . 20 10 10 20x11y 图 有界函数 无界函数的图可见图 . 1 2 3 x2y4 2 2 4x51015y 图 有上界函数 图 有下界函数 上面是函数有界的定义，那么我们如何理解“函数无界”这一命题呢。 命题 P ： 函数 f (x)在集合 X 无界 ． 命题 P 应是命题：“函数 f (x)在 X 有界” “存在正数 M, 满足对任何 xX ,  f (x)   M”的否命题 , 因此 命题 P  “不存在正数 M, 满足对任何 xX , 有  f (x)   M”  “对任何一个正数 M, 都不满足对任何 xX , 有  f (x)   M”  “对任何一个正 数 M, 至少有一个 xX , 不满足  f (x)   M”  “对任何一个正数 M, 存在一个 xX , 使得  f (x)  M” 换句话说 ,命题 P是 “对任何一个正数 M, 存在 xX ， 使得  f (x)  M” ,即对无论多大的正数M, 总有 xX , 使得  f (x)  M ． 图 其他函数举例 1. 经济学函数 需求函数 市场对商品的需求 q 依赖于商品价格 p, 这种依赖关系称为 需求函数 : q = q ( p), p  [ 0 , + ) 一般说 , q ( p) 是 递减函数 : 价格上升 , 需求减少 . 例如： q = a  bp, p [0, ab] ( 其中 a , b 是常数，且 a0, b0 ) . 1 2 p123456q 图 需求函数 供给函数 厂家向市场提供的商品量 (供应量 )q 对于价格 p 的依赖关系称为 供给函数 ： q = f ( p), p  [ 0 , + ) 一般说 , f ( p)是 递增函数 : 价格上升 , 刺激厂家多生产 . 例如 : q = c +d p, p  [ 0 , +] (其中 c , d 为正的常数 ). 1 2 3 p12345678q 图 供给函数 平衡价格 同一市场中 , 某种商品有时供不应求 (供给量少于需求量 ), 此时价格将上升。 有时供过于求 (供给量多于需求量 ), 此时价格将下降． 这种市场调节的客观规律将不断使价格进行调整 , 逐渐达到平衡，即供求平衡时的价格 p0 ． 这可以将需求 函数 曲线与供给 函数 曲线画在同一直角坐标系里 , 若它们的交点是 (p0, q0), 则 p0就是 平衡价格 , 此时供给量等于需求量 . 图 成本函数 生产总成本 : 固定成本 —— 与产量无关的部分 , 如房租 , 水电费等。 可变成本 —— 与产量有关的部分． 例如 : C = C0+ ax, x  [ 0 , + ) C —— 生产总成本 C0 —— 固定成本 ax —— 可变成本 : a 0 是常数 , x 是产量． 收入 (益 )函数 销售收入 R 依赖于销售量 x的函数关系称为 收入 (益 )函数． 对市场来说 , 销售量就是需求量 , 对厂 家来说 , 当全部产品都能售完时 , 销售量就是产量． 若价格为 p, 则收入函数为 R = px . 利润函数 销售收入 R 扣除成品 C 后得利润 L, 即 L(x) = R (x) – C (x) 称为 利润函数． 2. 数列 现在我们来重新认识中学学过的数列： u1 , u2 , u3 , „ , un , „ . 令 f (n) = un , nN ,其中 N 是正整数集合 ． 这就得到函数：nunf  RN: . 因此 , 数列 { un}是以 N 为定义域的一种特殊函数 , 且函 数值 un按照项数 n 的顺序排列起来． *菲波那契数列 例 . 菲波那契数列 . 意大利伟大的数学家 列昂那多 . 菲波那契 在 1202 年研究兔子产崽问题时 , 发现了此数列． 设一对大兔子每月生下一对小兔子 , 每对兔子在出生一个月后又下崽。 同时假定兔子都不死亡． 问：一对兔子在一年内将繁殖成多少对大兔子 ? 用 un 表示第 n月的大兔子对数．则 u1 = 1, 到第 2月 , u2 = 1, 但已生下 1对小兔。 到第 3月 , 有2 对大兔 , u3 = 2, 同时第 1 对大兔又生下 1对小兔。 到第 4 月 , u4 = 3, 同时前面两对大兔又生下 2对小兔。 如此继续 , 现在用下表列出 月份数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n  1 n 大兔数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 un1 un 小兔数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 un2 un1 从上表看出 , 第 n 月的小兔对数就是 un1, 而第 n月的大兔对数等于第 n1 月的大兔、小兔之总对数： un = un1 + un2 ． un 排成的数列为： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, „ 因此一年内将繁殖成 144 对大兔 , 另有 89 对小兔．此数列就称为 菲波那契数列 ，表示此数列的公式： u1=1, u2=1， un = un1 + un2 , n = 3, 4, 5, „ 称为 递推公式 ． 事实上 , 菲波那契数列也有通项公式 :    nunnn , 25125151 N . 请你用归纳法验证上述公式． *证卷投资的艾略特波浪理论 20 世纪 30 年代经济 学家 艾略特 把菲波那契数列应用于股票价格变化的技术分析 , 创立了 艾略特波浪理论 ,其 要点是： 无论我们考察多长时间的一个周期，股票价格变化总呈现出 8 个浪的形态． 若在牛市转向熊市即先升后跌状态，那么前 5 个是升浪 ,后 3 个是跌浪．其中 5 个升浪的第2, 4 两个是牛市中的调整 (小跌 )浪，而在 3个跌浪中的第 2 个是熊市中的调整 (小升 )浪，如下图所示． 图 事实上，这 8(5+3)个浪是上一级更大浪 (图中一升一跌的中轴线所示 )的精细化．与上一级大浪方向一致的 小浪 (图中的 ① ,③ ,⑤ ,⑥ ,⑧ )称为推动浪，否则称为调整浪 (图中的② ,④ ,⑦ )． 若在熊市转向牛市 即 先跌后升状态，那么 前 5个是跌浪 ,后 3个是升浪，其中第① ,③ ,⑤ ,⑥ ,⑧仍为推动浪，② ,④ ,⑦仍为调整浪．如下图所示． 图 艾略特波浪理论认为股票价格变化规律是上述过程的不断精细化．即每一推动浪与紧随的调整浪总是被划分成 5+3 个次级浪 :5 个推动浪与 3 个 调整浪 .如此一直可以细分下去 .由此规律，我们把浪的数目按下列顺序排列起来： 1, 1, 2, 3, 5, 8 ， 13， 21， 34， 55， 89， 144， ．．．．．． 就形成一个菲波那契数列，这可以用数学归纳法证明．艾略特波浪理论的详细内容可参考周爱民著《证卷投资分析方法研究》一书． *3. 多元函数 由于自然界与社会事物变化的复杂性 , 经常要研究多种因素间的相互依赖关系．数学上表现为一个变量 z 依赖于两个或多个变量 x, y, „．于是因变量 z 就成为两个或多个自变量 x, y, „ 的函数．例如矩形面 积 S依赖于长 x 与宽 y： S = xy. 我们称 S 是 x 与 y 的 二元函数 . 通常记二元函数为 z = f (x, y) . 类似地有三元、四元、„等函数 , 统称 多元函数 , 其中的“元”指自变量的个数 , 但自变量要规定一个次序 , 写成有序数组． 例如二元函数的自变量写成 (x, y)． 例 公元 1 年 1 月 1 日是星期 1，经数学证明，确定公元 x 年 y 月 z 日是星期几 (n)的计算方法如下：    )7( m o d4001004,3 , 103 , 23 , 13 , wnwzyxxxxwzyxyyyyyyyxyxxx当当当当 其中 w(mod 7)表示用 7 除 w 所得的余数． 例如你要知 道 2020 年 1 月 1 日是星期几 , 则 x = 2020 , y = 1 , z = 1,  2 5 2 2 , 11 , 2 0 0 7  wyx ,  n = 2 . 故 2020 年元旦是星期 2 ． 第二级调整浪、推动浪数目 第二级浪总数 第一级浪。