ch1线性代数(编辑修改稿)

ch1线性代数(编辑修改稿)内容摘要：

为阶梯形及标准形 , 并求出它的秩． 化矩阵 1 23 5  为阶梯形及标准形 , 并求出它的秩． 求线性方程组14 52215 5 2 320733321321321xxxxxxxxx 的解． 求线性方程组 2 2 3 812 11 2 31 21 2 3x x xx xx x x       的解． 矩阵 333222111cbacbacba 与矩阵 131313323232212121ccbbaaccbbaaccbbaa 的秩是否相等。 矩阵 333222111cbacbacba 与矩阵 333323232321321221cbaccbbaacccbbbaaa 的秩相等么。 思考题 两个同型矩阵秩相等的充要条件是不是它们的标准形相同。 假设矩阵 A 不可能通过初等变换化为同型矩阵 B，则 A 与 B 的秩一定不相等么。 假设矩阵 A 不可能通过初 等行变换化为同型矩阵 B，则 A 与 B 的秩一定不相等么。 已知同型矩阵 A、 B 为两个线性方程组的增广矩阵，且 r(A)=r(B)，则两个线性方程组是否有相同的解． 矩阵 123000123000004300520201 是否为阶梯形矩阵。 不存在其秩大于其行数或列数的矩阵么。 已知矩阵只有 i 个非零元，那么它的秩为 i 么。 一个矩阵的转置矩阵与它自身具有相同的秩么。 矩阵的运算 教学要求 本节要求熟练掌握矩阵运算的基本法则，学会用矩阵的运算法则重新解释线性 方程组的关系，熟练运用矩阵的初等变换求矩阵的逆和可逆矩阵方程的解． 1. 熟练掌握矩阵的加减、数乘和乘法运、算． 2. 熟练运用矩阵的初等变换求矩阵的逆． 3. 熟练运用矩阵的初等变换求解可逆矩阵方程． 知识点 1． 矩阵的加减和倍数 2． 矩阵的乘法 3． 逆矩阵 矩阵的加减和倍数 两个行数相同列数也相同的矩阵称为 同型矩阵 ，只有这样同型的矩阵才可以做加减法．做加法时，把两矩阵中对应位置处的元素相加，和数放在原位置处，即得到行列数不变的新矩阵，称为原来两矩阵的和．对于减法即两矩阵的差，可以类似地定义．用数学语言表 达为： 矩阵加减法 的定义． 设矩阵 Aa a aa a aa a annm m mn11 12 121 22 21 2   , Bb b bb b bb b bnnm m mn11 12 121 22 21 2   , 则两 矩阵的和 为矩阵 mnmnmmmmnnnnbabaaababababababaBA221122222221211112121111 , 两矩阵的差 为矩阵 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111． 例 设某机械总公司下属一个分公司 , 其职工按男女区分统计如下表 , 总公司 分公司 技术人员 生产工人 其他 技术人员 生产工人 其他 男 50 100 5 100 300 10 女 10 200 15 25 100 20 我们分别用矩阵 A和 B来列出总公司和分公司的职工人数情况 , 然后汇总统计用矩阵 A+B 表 示，即 A   50 100 510 200 15, B   100 300 1025 100 20，则汇总为A B   150 400 1535 300 35, 从矩阵 A+B 中可了解该机械公司的职工总数情况：男性技术人员、生产工人、其他职工分别为 150、 400、 15 人，而女性职工分别为3 300、 35 人． 例 若 A   6 51 1 ， B   2 03 4 ， 则 A B          6 2 5 01 3 1 4 4 54 3( )． 例 设 A = (a b c) , B = (x y z)， 则 A B = (a – x b – y c z)． 容易验证 , 矩阵的加法具有下列基本性质： 1. 交换性 A + B = B + A． 2. 结合性 ( A + B ) + C = A + ( B + C )． 3. 零矩阵的单位性 A + 0 = 0 + A = A ． (零矩阵：所有元素均为 0 的矩阵 ) 4. 保持转置性 （ A + B） ˊ = Aˊ + Bˊ ． 5. 负矩阵的存在性，即对任 意矩阵 Aa a aa a aa a annm m mn11 12 121 22 21 2    , 矩阵      a a aa a aa a annm m mn11 12 121 22 21 2  称为 A 的负矩阵 , 记作 A, 且有 A + ( A) =( A)+ A = 0 ． 显然 , 若 A 与 B 是同型矩阵 , 则 A B = A + ( B)． 例 设 , A B      2 3 41 0 2 2 1 13 0 3, ，则  A B            2 2 3 1 4 11 3 0 0 2 34 2 52 0 14 22 05 1( ) ( ) , 容易看出 , 还有 (A B)ˊ = Aˊ Bˊ ． 2． 矩阵的倍数 一个矩阵 A 的负矩阵 A，就是将 A 的每个元素乘以 1，我们不妨将 A写 成（ 1） A, 称为 A 的 1 倍．与此相仿，如果作加法运算 A+A ， 其结果是将 A 的每个元素乘以 2，而 A+A 可以认为是 2 倍的 A 即 2A ．由此我们推广这种作法，引进矩阵的倍数，或称为矩阵与数的乘法，又叫矩阵的数乘． 矩阵数乘 的 定义 . 设 k 为一实数， Aa a aa a aa a annm m mn11 12 121 22 21 2   ， 则 A 的 k 倍 （或称为 A 与数 k 的 数乘 ）是与 A 同型的矩阵 kAka ka kaka ka kaka ka kannm m mn11 12 121 22 21 2    ． 容易验证，对任意矩阵 A，我们有 0 A = 0, 1 A = A, (1) A = A ，并且矩阵与数的乘法具有下列基本性质： 1. 对加法的分配性 k(A+B) = kA + kB， ( k+l )A = kA + lA ． 2. 结合性 k(lA) = (kl)A = l(kA) ． 3. 保持转置性 (kA)ˊ = k Aˊ ． 例 已知 A B  3 2 2 01 3 0 82 4 6 97 4 3 33 1 0 75 2 3 9, , 且 A + 3X = B, 求矩阵 X ． 解． 由 A + 3X = B 得 3X = B－ A，所以     032310223564319963422587003113032324373131 ABX   43 253 12323 013123 1 0． 矩阵的乘法 矩阵与矩阵的乘法是一种非常重要的乘法 , 它不同于我们过去熟悉的各种乘法比如数与数的乘法和矩阵与数的乘法等 , 我们还是通过具体的例子来了解矩阵的乘法． 例 一小学生买了一打铅笔 , 每支 元； 练习本 15 个 , 每本 元； 兰墨水一瓶 , 价 元．问共花去多少钱 ? 解 . 共花去的钱数显然是 0 3 12 0 2 15 0 8 1. . . ,     经计算得 74. （元） . 此算式可用下述形式表达 :  0 3 0 2 0 8 121510 3 12 0 2 15 0 8 1 7 4. . . . . . .       （元）． 这种一行与一列矩阵的运算称为矩阵的乘法 . 我们可以将它推广成一般的矩阵乘法 . 若记  A B 0 3 0 2 0 812151. . . , , 则上述乘法就可记成 AB , 或甚至省略中间的乘法记号“” , 简写成 AB．但要注意 , 要做这样的乘法 , 并非任何两个矩阵都可以进行：一个起码的条件是 A 的列数必须与 B 的行数相同． 矩阵乘法 的定义 . 设    A a B bij mn jk np , 分别是 m n, n p矩阵 , 则 矩阵 A与 B的 乘积 是一 m p 矩阵， 记为 C ABc c cc c cc c cppm m mp 11 12 121 22 21 2   , 其中乘积矩阵 C中第 i 行第 k 列处元素为  nkkkiniinkinkikiikbbbaaabababac  21212211 , pkmi  1 ,1 , 今后为简便起见 , 采用一个和式的缩写记号  (读作 Sigma), 即 nt tkitnkinkiki babababa 12211 , 其中  称为和号 , 其下的 t1 表示  后面式子 abittk 中的下标 t 从 1 开始 , 顺次取t t 1 2, , , 直到 t n , 此处下标 t的最后一个数是  上面标出的 n, 然后将这 n个式子相加．于是有 ABa a aa a aa a ab b bb b bb b ba b a b a ba b annm m mnppn n npt ttnt ttnt tptnt ttn。