20xx考研数学资料一维随机变量及其分布(编辑修改稿)

20xx考研数学资料一维随机变量及其分布(编辑修改稿)内容摘要：

zP X z N d x        （ 2） 下分位数    2, zP X z N dx        评 注 无论哪种分位数， 对 标准正态分布 都有： 1zz  切 记： 标准正态分布的查表中使用的    2212uzz e d u P Z z    是下分位数 其他三种抽样分布的查表中则使用的是上分位数 ，即：             221 2 1 2,P n nP t n t nP F n n F n n    。 参 见 浙大三版 附表 2~5。 三、一维 随机变量 函数的分布函数  Y f X 离散型 陈氏第 4 技 采用 〖 一维 直 角分割法〗 计算 一维 分布函数。 如计算 12x区间的 Fx， 先在 12x区间内任取一点 x ，然后，由 x 点向数轴左边（往左边画是为了满足  P X x 的分布函数定义）画一个直角区域，该直角区域与样本空间的交集就是所求的 Fx，即把该直角区域包含全部样本点的概率相加， 如为连续则相加变为积分。 〖 直 角分割法〗 也适应二维分布， 由 x 点向平面左下方画一个直角区域即可。 2020 智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 38 【 例 9】 设 X 的分布函数为    0 , 10 . 4 , 1 10 . 8 , 1 31 , 3xxF x P X xxx        ，求 X 的概率分布。 解：由于 Fx要求右连续，故等号必须加在  号上。 又由于每一区间的 Fx为常数，故 X 具有离散型特征。 Fx在 1, 1, 3x 处有第一类跳跃间断点，即 X 在这些点的概率不为零，即正概率点 存在。 根据 〖 直 角分割法〗 ， 计算如下                1 1 1 0 0 .4 0 0 .41 1 1 0 0 .8 0 .4 0 .43 3 3 0 1 0 .8 0 .2P X F FP X F FP X F F                      X 的概率分布 （即离散分布律） 为 X 1 1 3 ip 【 例 10】 设随机变量 X 的分布为 X 1 0 1 2 3 ip a b 当  时， 求 X 的分布函数 Fx和      2 1 , 0 , 1 . 2P X P X P X  和 2 1YX的分布。 解： 上表显然为离散分布正概率点的值。 根据概率归一化： 1 0 . 2 5 0 . 1 5 0 . 3 5 0 . 2 5 0 . 0 5a b b a         利用直角分割法，如计算区间 12x的 Fx        1 0 1 0 . 6F x P X P X P X        ， 其 余 区间 类推，故：  0 , 1 , 1 0 , 0 1 , 1 2 , 2 31 , 3xxxFxxxx       2020 智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 39 评 注 由于分布函数右连续，故等号位置不能 放在小于号上。                2 1 1 1 2 3 0 1 0 0P X P X P X P X P XP X P X P XPX                                           222221 , 0 , 1 , 2 , 3 1 1 , 0 , 3 , 81 1 1 0 0 . 1 50 1 0 1 1 0 . 4 53 1 3 2 2 0 . 3 58 1 8 3 3 0 . 0 5X Y XP Y P X P XP Y P X P X P XP Y P X P X P XP Y P X P X P X                                          2 1YX 1 0 3 8 p 【例 11】 已知随机变量 X 的分布律为 X 4 2 34 P 0 求 Y SinX 的分布律。 解 ： ∵ Y 的所有可能取值为 22 ， 1 （ 将 X 的所有取值代入 Y SinX 得到） 23 4 4P Y P X P X                  1 0 .72P Y P X     Y 22 P 连续型 如果 X 具有连续概率密度    , , Xf x x    ， gx处处 可导，且 gx 不变号 ，则   1Y g X X g Y  的概率密度为： 2020 智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 40        11 , , 0 , XYf g y g y y a bfyo the r          评 注 上述解法由于条件 苛刻 ， 应用受到限制 ，而且一般的概率密度并非连续函数。 所以 ●  Y g X 分布的 一般的解法 （又称分布函数法） 是 ： a 首先确定 Y 的值域  , ab，也可以是开区间或半开半闭 区间。 b    0。 1。 y a F y y b F y      c a y b，根据分布函数定义求。              g X yF y P Y y P g X y f x d x f y F y         ● 新增 例子 1：设 Z 为连续型随机变量，分布函数为 Fz，求  Y F Z 的分布函数。 解： 由分布函数的性质知    0 , 1 Y F Z Y      0 0。 1 1。 y F y y F y      当 01y时，            11F y P Y y P F Z y P Z F y F F y y              0 , 0 1 , 0 1, 0 1 ~ 0 , 10,1, y yF y y y f y Uot he ry       。 新增 例子 2： 设随机变量 ,X Y 的联合分布是正方形   , | 1 3 , 1 3 G x y x y    上的均匀分布，求 U X Y的概率密度。 解：   1 , 1 3 , 1 3, 4 0, xyf x yo th e r     根据    , 1 , 3 0 , 2 X Y U X Y    （值域）。 1  00u F u  ； 2  21u F u  ； 3      02u F u P U u P X Y u        2020 智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 41         21 1 11 2 24 2 21 2 , 0 220, x y ud x d y u f u uuufuo the r          （画图求面积） ● 注意，由于分布的概率密度函数不一定连续，故一般规定在 端点的密度函数值为零 ，故 一般来说  , y a b 是个开区间。 【例 12】    21~ 1X f x xx ，求 23YX的 yfy。 解： 由于 23YX不满足处处可导，故采用 一般解法：           3223323223 3 1 12 2 2 33122yY X XY Y XyyF y P Y y P X y P X F f x dxyyf y F y fyy                                【例 13】设随机变量 ~ , 22XU ，求 sinYX 的分布密度 Yfy。 解 法 ： 公式法   1 , , 220, xfx     其 它， 而 sinyx 在 , 22存在反函数 arcsinxy 且211yx y   ，使用公式法                112, , 0 , 1, 1 , 1a r c sin a r c sin a r c sin , 1 , 1 10 , 0 , XYXXf g y g y y a bfxothe ryf y x f y y yyothe r othe r                【例 14】 已知随机变量 X 的 服从  0,  上的均匀分布， 求 sinYX 的概率密度。 解 :： 分布函数定义 法 X 的概率 密度为：    1 , 0 ,0 , Xxfxoth er   先确定 Y 的值域为  0, 1Y。 故    0 0。 1 1。 YYy F y y F y      2020 智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 42 当 01y时 x 的单调区域 D 有两个，即    | 0 a r c s i n | a r c s i nD x x y x y x      ，根据反函数 的定义， D 的两个单调区域存在反函数。 使用一般法，得         a r c sin0 a r c sin211si n , 0 1 0 0 1 1 2, 0 1 0 1 10 , 当 ；当 ；当yyYF y P X y dx dx yy F yy F yyy f y F y yot he r               评 注 如无 特别 指明，则  ~ 0, XU  ，而本题为  ~ 0, XU 。 【例 15】  ~XE ，求 XYe 的概率密度函数。 解： 因为指数分布要求 0x ，故 XYe 不仅处处可导，且存在反函数， 可 直接利用公式：       。