中考数学_专题4_韦达定理应用探讨(编辑修改稿)

中考数学_专题4_韦达定理应用探讨(编辑修改稿)内容摘要：

a 0   的两个实数根， ∴ 由根与系数的关系可知，1 2 1 2a 2 ax x x xa 6 a 6   ，； ∵ 一元二次方程 2(a 6 ) x 2 ax a 0   有两个实数根， ∴△=4a 2－ 4（ a－ 6） •a≥0 ，且 a6≠0 ，解得， a≥0 ，且 a≠6。 由 1 1 2 2x x x 4 x   得 1 2 1 2x x 4 x x   ，即 a 2a4a 6 a 6。 解得， a=24＞ 0，且 a－ 6≠0。 ∴ 存在实数 a，使 1 1 2 2x x x 4 x   成立， a的值是 24。 （ 2） ∵1 2 1 2 1 2 a 2 a 6( x 1 ) ( x 1 ) = x x x x 1 = 1 =a 6 a 6 a 6         ， ∴ 当 12(x 1)(x 1)为负整数时， a－ 6＞ 0，且 a－ 6是 6的约数。 ∴a － 6=6， a－ 6=3， a－ 6=2， a－ 6=1。 ∴a=12 ， 9， 8， 7。 ∴ 使 12(x 1)(x 1)为负整数的实数 a的整数值有 12， 9， 8， 7。 【考点】 一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解分式方程。 【分析】 根据根与系数的关系求得1 2 1 2a 2 ax x x xa 6 a 6   ，；根据一元二次方程的根的判别式求得 a的取值范围。 （ 1）将已知等式变形为 x1x2=4+（ x2+x1），即 a 2a4a 6 a 6，通过解该关于 a 的方程即可求得 a的值； （ 2）根据限制性条件 “ （ x1+1）（ x2+1）为负整数 ” 求得 a的取值范围，然后在取值范围内取 a的整数值。 例 8： （ 2020四川 南充 8分） 关于的一元二次方程 x2+2x+k+1=0的实数解是 x1和 x2． （ 1）求 k的取值范围； （ 2）如果 x1+x2﹣ x1x2＜﹣ 1且 k为整数，求 k的值． 【答案】 解：（ 1） ∵ 方程有实 数根， ∴△=2 2﹣ 4（ k+1） ≥0 ，解得 k≤0。 ∴k 的取值范围是 k≤0。 （ 2）根据一元二次方程根与系数的关系，得 x1+x2=﹣ 2， x1x2=k+1， ∴x 1+x2﹣ x1x2=﹣ 2﹣（ k+1）。 由﹣ 2﹣（ k+1）＜﹣ 1，解得 k＞﹣ 2。 又由（ 1） k≤0 ， ∴ ﹣ 2＜ k≤0。 ∵k 为整数， ∴k 的值为﹣ 1和 0。 【考点】 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元一次不等式组。 【分析】 （ 1）方程有两个实数根，必须满足 △=b 2﹣ 4ac≥0 ，从而求出实数 k的取值范围。 （ 2）先由一元二次方程根与系数的关系，得 x1+x2=﹣ 2， x1x2=k+1．再代入所给不等式即可求得 k的取值范围，然后根据 k为整数，求出 k的值。 例 9： 练习题： 1. （ 2020湖南株洲 3分） 孔明同学在解一元二次方程 2x 3x c 0   时，正确解得 1x1 ， 2x2 ，则 c 的值为 ▲ ． 2. （ 2020湖北孝感 10分 ） 已知关于 x的方程 222(k 1 0x )x k   有两个实数根 x1， x2， （ 1）求 k 的取值范围； （ 2）若 1 2 1 2x x x x 1 ，求 k 的值。 3. （ 2020湖北鄂州 8分） 关于 x的一元二次方程 22x (m 3) x m 0   。 （ 1）证明：方程总有两个不相等的实数根； （ 2）设这个方程的两个实数根为 x1， x2，且｜ x1｜ =｜ x2｜－ 2，求 m的值及方程 的根。 4. （ 2020四川 南充 8分） 关于 x的一元二次方程 x2＋ 3x＋ m－ 1=0的两个实数根分别为 x1,x2。 （ 1）求 m的取值范围 ； （ 2）若 2（ x1+x2） + x1x2+10=0．求 m的值。 5. （ 2020四川 达州 3分） 已知关于 x的方程 x2﹣ mx+n=0的两个根是 0和﹣ 3，则 m= ▲ ， n= ▲。 6. （ 2020四川 泸州 2分） 已知关于 x的方程 x2+（ 2k+1） x+k2﹣ 2=0的两实根的平方和等于 11，则 k的值为 ▲。 7. （ 2020四川乐山 10分） 题甲：已知关于 x的方程 222 (a 1 ) a 4xx 7a 0     的两根为 x x2， 且满足 1 2 1 233x x x x 20 .求2 4 a 2(1 )a 4 a的值。 8. （ 2020 北京 市 7 分） 已知：关于 x 的方程 2mx 14x 7 0  有两个实数根 x1 和 x2，关于 y 的方程 22y 2 n 1 y n 2 n 0    有 两 个 实 数 根 y1 和 y2 ，且－ 2≤y 1 ＜ y2≤4 ．当 2121 2 1 226 2 2 y y 1 4 0x x x x     （ ） 时，求 m的取值范围。 9. （ 2020四川 凉山 6分 ） 已知： x2+a2x+b=0的两个实数根为 x x2； y y2是方程 y2+5ay+7=0的两个实数根，且 x1－ y1=x2－ y2=2．求 a、 b的值。 五 、在平面几何中的应用： 在平面几何中， ① 两圆外切，两圆圆心距离等于两圆半径之和； ② 勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方的应用 ，可以与一元二次方程根与系数的关系相结合命题。 典型例题： 例 2： （ 2020江苏镇江 6分） 已知 ，如图， Rt△ABC 中， ∠ACB=90 0， AB=5，两直角边 AC、 BC的长是关于x的方程  2x m 5 x 6 m 0   的两个实数根。 （ 1）求 m的值及 AC、 BC 的长（ BCAC） （ 2）在线段 BC 的延长线上是否存在点 D，使得以 D、 A、 C 为顶点的三角形与 △ABC 相似。 若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由。 【答案】 解：（ 1）设方程  2x m 5 x 6 m 0   的两个根分别是 x x2。 ∴x 1+x2=m+5， x1•x2=6m。 ∴ 2 2 2 21 2 1 2 1 2x x x x 2 x x m 5 2 6 m       （ ） （ ）。 ∵Rt△ABC 中， ∠ACB=90176。 ， AB=5， ∴ 2 2 212x x AB。 ∴ 22m 5 2 6 m 5   （ ） ， ∴m 2－ m=0。 ∴m=0 或 m=2。 当 m=0时，原方程的解分别为 x1=0， x2=5，但三角形的边长不能为 0，所以 m=0舍去； 当 m=2时，原方程为 x2－ 7x+12=0，其解为 x1=3， x2=4，所以两直 角边 AC=3， BC=4。 ∴m=2 ， AC=3， BC=4。 （ 2）存在。 已知 AC=3， BC=4， AB=5，欲使以 △AD 1C 为顶点的三角形与 △ABC 相似， 则11AB AC BCAD CD AC。 ∴134CD 3 ，则 CD1=94。 欲使以 △AD 2C为顶点的三角形与 △ABC 相似，则22AB BC ACAD CD AC。 ∴BC=CD 2=4。 综上所述，在线段 BC 的延长线上是存在点 D，使得以 D、 A、 C 为顶点的三角形与 △ABC相似， CD的长为 94 或 4。 【考点】 相似三角形的判定，根与系数的的关系， 相似三角形的判定和性质， 勾股定理。 【分析】 （ 1）先利用根与系数的关系与勾股定理求出 m的值，再代入 m的值求出 AC、 BC的长。 （ 2）根据相似三角形的性质来解答此题，利用相似比即可求出 CD的长。 练习题： 1. （ 2020山东潍坊 3分） 已知两圆半径 r r2分别是方程 x2— 7x+10=0的两根，两圆的圆心 距为 7，则两圆的位置关系是【 】． A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 2. （ 2020四川广安 8分） 已知： △ABC 的两边 AB、 AC的长是关于 x的一元二次方程 x2－（ 2k+3） x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边 BC的长为 5．试问： k取何值时， △ABC 是以 BC为斜边的直角三角形。 3. （ 2020江苏无锡 9分） 已知：如图， ⊙O 的半径为 r， CE切 ⊙O 于 C，且与弦 AB的延长线交于点 E， CD⊥AB于 D．如果 CE=2BE，且 AC、 BC的长是关于 x的方程  22x 3 r 2 x r 4 0    的两个实数根． 求：（ 1） AC、 BC的长；（ 2） CD的长． 4. （ 2020 湖南益阳 10分） 巳知：如图，在 △ABC 中， ∠B=90176。 ， O 是 AB 上一点，以 O 为圆心， OB为半径的半圆交 AB于点 E，与 AC 切于点 D．当 22AD AE 5时， AD、 AE（ AD＞ AE）是关于 x的方程 x2－ （ m－ 1） x＋ m－ 2=0（ m≠0 ）的两个根． （ 1）求实数 m的值； （ 2）证明： CD的长度是无理方程 2 x 1 x 1   的一个根； （ 3）以 B 点为坐标原点，分别以 AB、 BC 所在直线为 x轴、 y轴建立平面直角坐标系，求过 A、 B、 D三点且对称轴平行于 y轴的抛物线的解析式． 5. （ 2020 湖南株洲 3 分） 两圆的圆心距 d=5，它们的半径分别是一元二次方程 x25x+4=0的两个根，这两圆的位置关系是 ▲ 七、在二次函数中的应用： 一元二次方程 ax2＋ bx＋ c(a≠0) 可以看作二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)当 y＝ 0时的情形，因此 若干 二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0) 的图象与ｘ轴交点的 综合问题都可以用韦达定理解题。 典型例题： 例 1： （ 2020天津 市 3分） 若关于 x的一元二次 方程（ x－ 2）（ x－ 3） =m有实数根 x1,x2，且 x1≠x 2，有下列结论： ①x 1=2， x2=3； ② 1m 4 ； ③ 二次函数 y=（ x－ x1）（ x－ x2）＋ m的图象与 x轴交点的坐标 为（ 2， 0）和（ 3， 0）． 其中，正确结论的个数是【 】 （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 例 2： （ 2020 甘肃兰州 10 分） 若 x x2是关于一元二次方程 ax2＋ bx＋ c(a≠0) 的两个根，则方程的两个根 x x2和系数 a、 b、 c有如下关系： x1＋ x2＝ ba ， x1•x2＝ ca ．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0) 的图象与 x轴的两个交点为 A(x1， 0)， B(x2， 0)．利用根与系数关系定理可以得到 A、 B连个交点间的距离为： AB＝ |x1－ x2|＝   2 221 2 1 2 2b 4 c b 4 a cx + x 4 x x = =aa a   2b 4ac=a。 参考以上 定理和结论，解答下列问题： 设二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a＞ 0)的图象与 x轴的两个交点 A(x1， 0)， B(x2， 0)，抛物线的顶点为 C， 显然△ABC 为等腰三角形． (1)当 △ABC 为直角三角形时，求 b2－ 4ac的值； (2)当 △ABC 为等边三角形时，求 b2－ 4ac的值． 【答案】 解：（ 1）当 △ABC 为直角三角形时， 过 C作 CE⊥AB 于 E，则 AB＝ 2CE。 ∵ 抛物线与 x轴有两个交点， △ ＝ b2－ 4ac＞ 0， 则 |b2－ 4ac|＝ b2－ 4ac。 ∵a ＞ 0， ∴AB 22b 4 a c b 4 a c==aa。 又 ∵CE 224 ac b b 4 ac==4 a 4 a， ∴ 22b 4a c b 4a c=2a 4a。 ∴ 22 b 4acb 4ac = 2 ，即  222 b 4 acb 4 ac= 4。 ∵b 2－ 4ac＞ 0， ∴b 2－ 4a。