一类递推数列的单调性与极限(编辑修改稿)

一类递推数列的单调性与极限(编辑修改稿)内容摘要：

别是单调的 ,而且具有相反的单调性 . 证明 如果 13xx ,则由 ( ) 0fx  ,得 1()fx 3()fx ,即 24xx , 于是又有 35xx , 46xx , 用归纳法可得奇数项子列  21nx 单调增加 ,而偶数项子列  2nx 单调减少。 如果 13xx ,同理可得子列  21nx 单调减少 ,而偶数项子列  2nx 单调增加 . 推论 [1] 对于递推数列 1 nn nax bx xc  （ ac b , 1,2,3,n ） , 如果 1, , ,abcx 全为正数时 ,那么 数列 nx 收敛 ,且收敛于 l ,其中 4 2( ) 42a c a c bl     , 这里 l 是方程 ax bxxc 的一个正根 . 证明 由于迭代函数 () ax bfxxc 的导数239。 ( ) ()ac bfx xc . 下面讨论之 : （ 1） 若 0ac b ,则 39。 ( ) 0fx . 当 2 1 1()x f x x时 ,由于 l 是 函数 ()fx唯一的一个正的不动点 , 因而 1xl ,于是 nxl 是常数列 ,故 limnn xl 。 当 2 1 1()x f x x与 2 1 1()x f x x时 ,分别在区间 1[ ,]xl 与 1[, ]lx 上应用命题1 与命题 2,得 数列 nx 收敛于 不动点 l。 （ 2） 若 0ac b ,则 39。 ( ) 0fx . 当 1xl 时 , 1 nnn a x b a x a cxax c x c   , 注意到 注意到 ()f l l ,由 1xl  1( ) ( )f x f l ,即 2xl , 进一步有 2()fx ()fl,即 3xl ,„ , 易用数学归纳法证明 : 2na x l. 因 而 2( ) ( ) ( )nf l f x f a, 即 5 221n ablx ac , 1,2,3,n , 即  21nx 与  2nx 有界 ,故均收敛 . 且由 21 1 1 121 [ ( ) ]()n n n nnacx x x a c x ba c x b c           分别考虑 n 为奇 ,偶数对此式取极限 ,得 21lim nn xl ,2lim nn xl , 这里 l 是方程 2 ( ) 0x。