数值分析考试复习资料(编辑修改稿)

数值分析考试复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

为。 37. 过 6个插值节点的拉格朗日插值多项式的基函数 l4(x)＝。 38. 求数据拟合的直线方程 y=a0+a1x的系数 a0,a1是使 最小。 39. 过这三个点 (0,1), (1,2), (2,3)的拉格朗日插值多项式 __________ 40. 设 y= f(x), 只要 x0,x1,x2是互不相同的 3个值，那么满足 P(xk)=yk(k=0,1,2)的 f(x)的插值多项式 P(x)是 (就唯一性回答问题 ) 41. 牛顿－科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是 . 42. 用三点高斯 ―― 勒让德求积公式计算积分  xxf d)(，是有 代数精度的 43．牛顿切线法是用曲线 f(x)上的 与 x轴的交点的横坐标逐步逼近 f(x)＝ 0的解；而弦截法是用曲线 f(x)上的 与 x 轴的交点的横 坐标逐步逼近 f(x)＝ 0的解 . 44. 设方程 f(x)=x－ 4＋ 2x=0，在区间 [1,2]上满足 ,所以 f(x) =0在区间[1,2]内有根 .建立迭代公式 xx  =(x)，因为 ，此迭代公式发散 . 45. 设函数 f(x)区间 [a,b]内有二阶连续导数，且 f(a)f(b)0, 当 时，则用弦截法产生的解数列收敛到方程 f(x)=0的根 . 46. 改进欧拉预报－校正公式是 ][hyyyykkkk校正值预报值 47. 设四阶龙格－库塔法公式为 )22(643211   hyy kk 其中 1=f(xk,yk)； 2=f(xn+12 h， yk+h1)； 3=f(xk+12 h， yn+h2)； 4=f(xk+h， yk+h3) 取步长 h=，用四阶龙格－库塔法求解初值问题   )(y yy的计算公式是 . 48. 取步长 h=, 用欧拉法求解初值问题 )(yyxyy 的计算公式是 49. 近似值 x＝ _______________。 50．用列主元消去法解线性方程组 ，作第 1次消元后的第 3个方程为 _______________________。 51．设函数 f(x) 在区间 [0， 1] 上连续，若满足 ____________，则方程 f(x)＝ 0 在区间 [0， 1] 一定有实根。 52．解常微分方程初值问题的三阶龙格－库塔法的局部截断误差是 __________。 53. 解非线性方程 f(x)=0的牛顿迭代法具有 _______________收敛 54. 迭代过程 （ k=1,2,„ ）收敛的充要条件是 ___________ 55. 已知数 e=...,取近似值 x=,那 麽 x具有的有效数字是_______________ 56. 通过四个互异节点的插值多项式 p(x),只要满足 ___________， 则 p(x)是不超过二次的多项式 57. 对于 n+1个节点的插值求积公式 至少具有 ______次代数精度 . 58. 插值型求积公式 的求积系数之和 ________ 59. ,为使 A可分解为 A=LLT, 其中 L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围 __________ 60. 若 则矩阵 A的谱半径 (A)=____________ 61. 解常微分方程初值问题 的梯形格式 是 ___________阶方法 62. 设 ，取 5位有效数字，则所得的近似值 x=_____. 63. 设一阶差商 ， 则二阶差商 64. 数值微分中，已知等距节点的函数值 则由三点的求导公式，有 65. 求方程 的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么 66. 解初始值问题 近似解的梯形公式是 67. ，则 A的谱 半径 ＝ ， A的 ＝ 68. 设 ，则 ＝ 和 ＝ 69. 若线性代数方程组 AX=b 的系数矩阵 A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯 塞德尔迭代都 _____ 70. 解常微分方程初值问题的欧拉（ Euler）方法的局部截断误差为 _____ 71. 设 ，当 _______时，必有分解式 ，其中 L为下三角阵，当其对角线元素 足条件 ____________时，这种分解是唯一的。 三、 名词解释 1. Lagrange 的 n 次插值基函数 2. 数值微分的改进尤拉（ Euler ）法 3. 局部截断误差 4. 迭代函数 5. Chalisky 矩阵分解 6. 有效数字 7. 代数精度 8. 向量范数 9. 严格对角占优 10. 正规方程 四、证明题 1. 证明以 Gauss 点为零点的 n 次多项式 )(x 与一切次数 1n 的多项式正交。 2. 证明 x 的相对误差约等于 x 的相对误差的 21。 3. 证明数值积分的梯形公式的余项为 ),(,))((121 3 baabfR T   4. 已知函数表 x 0 1 2 3 4 5 )(xf － 7 － 4 5 26 65 128 求证由此构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数为 1. 5. 证明解线性方程组 AX=b的雅可比迭代收敛，其中 A=110121014 6. 设 nxxxx ,...,  是 n+1个互异的插值节点， ),...,)(( nkxlk  是拉格朗日插值基函数，证明： nk k xl )( 7. 证明方程 1－ x－ sinx＝ 0 在区间 [0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过10 － 4的根要迭代多少次。 8. 对初值问题  )(, yyy ，证明用梯形公式求得的近似解为 nn hhy   并证明当步长 h0时， yne－ x 9．设方程 f(x)＝ 0在区间 [0， 1] 上有唯一实根，如果用二分法求该方程的近似根，要求绝对误差限 为 ，证明至少要二分 9次。 明定积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度 11. 设 （ 1） 写出 解 的 Newton迭代格式 （ 2） 证明此迭代格式是线性收敛的 12. 设 R=I－ CA，如果 ，证明： （ 1） A、 C都是非奇异的矩阵 （ 2） 13. 证明 的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而 高斯－赛德尔迭代法发散。 )) . . . ()(( )) . . . ()(()( 02020 210 nnxxxxxx xxxxxxxl  是以节点 x0,x1,„,x n为插值点的拉格朗日插值基函数，试证明 )) . . . ()(( )) . . . ()((...))(( ))((1)( 02020 1102020 1010 00 nn xxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxx xxxl     五、计算题 1. 用 Newton 法求解方程 123  xxx =0的正根 2. 设 120321012A ，试计算 21, AAA  3. 设 xx ,0 的相对误差为  ，求 xln 的误差。 4. 求满足下面条件的插值多项式及余项 x 1 2 3 y 2 4 12 y’ 3 5. 计算下面求积公式的代数精度 )]43(2)21()41(2[31)(10 fffdxxf  并用它计算定积分 10 2dxx 6. 应用 Newton 迭代法解方程，试导出求立方根 3a 的迭代公 式，并讨论其收敛性。 7. 设  21A在范数 ,1的意义下，分别计算 )(ACond。 8. 用消元法作出下列矩阵的 LR 分解和 LDU 分解（ L 为主对角线元素全为 1 的下三角阵， U 为主对角线元素全为 1 的上三角阵， D 为对角阵）。  301021112A 9. 用列主元消去法解线性方程组 615318153312321321321xxxxxxxxx 计算过程保留 4 位小数 . 10. 取 m=4,即 n=8，用复化抛物线求积公式计算积分  0 2 d)1ln( xx 计算过程保留 4 位小数 . 11. 用牛顿法解方程 x－ e－ x=0 在 x= . 要求 nn xx 1 . 计算过程保留 5 位小数 . 12. 取 h=, 用改进欧拉法预报－校 正公式求初值问题    1)0( 1 2y yxy 在 x=, 处的近似值 . 计算过程保留 3 位小数 . kx 2 3 4 5 ky 4 6 8 9 试用直线拟合这组数据 . (计算过程保留 3位小数 ) 14. 将区间 [1,9]8等分，试用复化梯形公式求积分 xx d5691  的近似值，计算 过程中保留 3位小数 . 15. 用弦截法求方程 x－ sinx－ =0 在 [， ]之间的一个近似根，满足  kk xx ，计算过程保留 4位小数 . 16. 用四阶龙格－库塔法求解初值问题   0)0( 1y yy 取 h=, 求 x=, . 要求写出由 h,xk,yk直接计算 yk+1的迭代公式 . 计算过程保留 3位小数 . 已知四阶龙格－库塔法斜率值公式为 1=f(xk,yk) 2=f(xk+12 h， yk+2h 1) 3=f(xk+12 h， yk+2h 2) 4=f(xk+h， yk+h3) 17. 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： － 18. ln2=„ ，精确到 10－ 3的近似值是多少。 19. 用顺序消去法解线性方程组xxxxxxxxx 20. 取初始向量 X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组 xxxxxxxxx 21. 已知函数 y=f(x)的观察数据为 xk － 2 0 4 5 yk 5 1 － 3 1 试构造 f(x)的拉格朗日多项式 Pn (x)，并计算 f(－ 1)。 22. 已知函数 y=f(x)的数据如表中第 1， 2列。 计算它的各阶均差。 k xk f(xk) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 0 75 1 15 2 75 3 11 4 52 23. 已知数据如表的第 2， 3列，试用直线拟合这组数据。 k xk yk kx xkyk 1 1 4 2 2 3 3 6 4 4 8 5 5  15 31 24. 试确定求积公式 )()(d)( ffxxf的代数精度。 25. 试用梯形公式、科茨公式和抛物线公式计算定积 分 . dxx(计算结果取 5位有效数字 ) 26. 用三点高斯－勒让德求积公式计算积分  xxdxsin 27. 已知函数值 f()=,f()=,f()=，用三点公式计算)(xf 在 x=,。 28. 试建立计算 a 的牛顿迭代格式，并。