小学数学问答手册十、几何初步知识(编辑修改稿)

小学数学问答手册十、几何初步知识(编辑修改稿)内容摘要：

中线。 三角形的中位线是指：三角形两边中点的连线，叫做三角形的一条中位线。 左图中， D、 E分别是三角形 ABC 的边 AB、 AC 的中点，在 D 与 E 之间作一连线，则 DE 是△ ABC 的一条中位线。 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 同理，三角形有三条中位线。 三角形的高线是指：从三角形的一个顶点到它的对边所在的直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线。 简称三角形的高。 左图中， AD⊥ BC 于 D，线段 AD 是△ ABC 的一条高线。 同理，三角形中有三条高线。 应该注意的是： （ 1）直角三角形中，有两条高线与直角边重合。 （ 2）钝角三角形中，有两条高线在三角形之外。 如图中的钝角三角形 ABC，的一个内角∠ C是钝角，则 AD 是 BC 边上的高线， BE是 AC 边上的高线。 但它们分别与 AC、 BC 的延长线相交于三角形 ABC 的形外。 292．四边形应该怎样分类。 由四条线段围成的封闭图形叫做四边形。 如果没有一组对 边平行的四边形，就叫做任意四边形。 在小学中所涉及的四边形，都是凸的四边形，即：如果延长四边形的任何一边，而整个四边形都在这边延长线的同旁，那么这样的四边形就叫做凸四边形。 四边形在教材中包括以下八种（如下图）： 从上图中可以看到这些都属于四边形的范畴之内，但各自的名称不相同。 1 是任意四边形； 2是平行四边形； 3是长方形； 4是正方形； 5 是菱形； 6 是直角梯形； 7是等腰梯形； 8是一般梯形。 如果把上面图形归类概括，则四边形可做如下分类： 293．怎样认识三角形的三个内角和是 180176。 三角形的三个内角和是 180176。 ，这是三角形内角和的性质。 在几何初步知识 的教学中，这是一个重要的内容。 要通过量一量、折一折、想一想和算一算等实践活动，让学生在掌握内容的同时，培养和发展学生的推理判断能力。 教学前，先布置课前作业，要求每个学生剪出六个三角形，即：按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；按边分有等边三角形、不等边三角形和等腰三角。 形固定，但数据不做统一要求，这样剪出来的三角形是大小不一的。 教师谈话后，先让学生量一量。 如：拿出一个直角三角形，让学生量出另外一个角的度数，并报出来，教师立即报出第三个角的度数，然后让学生进行测量核实（用量角器）。 如此重复数 次，就可以激起学习的兴趣和教学中的悬念。 在此基础上，全体学生一起动手测量自制的六个三角形三个内角的度数，并把它们加起来，初步明确：无论是什么样的三角形，也无论它的边是多长和多短，它们内角和都是 180176。 接着，让学生折一折，以丰富学生的感性认识。 方法（ 1）把三角形的三个内角沿虚线折过去，使其组成一个平角，证明三个内角和为 180176。 如图： 方法（ 2）先画出一个平角，再将手中的一个三角形的三个角撕下来，拼在平角上，使三个角正好组成一个平角，进一步证明三角形三个内角和是 180176。 方法（ 3）把一个正方形沿对角线折成两个三角形，因为正方形四个角都是直角（ 90176。 ），它的内角和是 360176。 ，所以一个三角形的内角和是180176。 从以上的实践活动，再通过想一想，上升为理性认识，从而形成概念，这是一个抽象概括、归纳总结的过程。 想的过程要通过语言的表述进行检验。 最后运用练一练的形式，以达到巩固概念、运用概念的目的。 练习内容要分基本型和发展型 两类。 如：基本型 ①求出下面每个三角形中未知角的度数。 ②已知三角形中∠ 1 是 45176。 ，∠ 2 是 60176。 ，∠ 3是多少度。 发展型： ①三角形中 ∠是 62176。 ，∠ 2 是 29176。 ，这 是一个什么三角形。 ②三角形的三个内角和是 180176。 ，如果切去一个角，剩下图形的内角和是多少度。 294．梯形怎样分类。 梯形的定义是：只有一组对边平行的四边形，叫做梯形。 梯形可分为一般梯形、直角梯形和等腰梯形三类： （ 1）一般梯形： 梯形的各部分名称是这样的：互相平行的两条边，叫做梯形的底，通常上面的一条边称作上底；下面的一条边称作下底，不平行的两条边称作腰。 梯形底边和腰的夹角，称作梯形的底角。 上底边和腰的夹角，称作上底角；下底边和腰的夹角，称作下底角。 图中的∠ A 和∠ B是下底角；∠ C和∠ D 是上底角。 梯形上、下底之间的距离，叫做梯形的高。 图中的 DE⊥ AB， DE 是梯形 ABCD 的高。 （ 2）直角梯形： 只有一腰垂直于底边的梯形，叫做直角梯形。 图中的 AD⊥ AB，因此，梯形 ABCD 是直角梯形。 （ 3）等腰梯形： 两条腰相等的梯形，叫做等腰梯形。 如图中， AD=BC，因此，梯形 ABCD是一个等腰梯形。 等腰梯形还具有以下两个性质： ①等腰梯形的上底角相等，下底角也相等。 如图中，∠ DAB=∠ CBA，∠ ADC=∠ BCD。 ②等腰梯形的对角线相等。 如图中， AC= BD。 295．怎样进行梯形面积公式的推导。 梯形的面积公式是在平行四边形面积公式的基础上进行推导的。 在此之前，已建立了梯形的概念，因此，在教学前，可先让学生自制两个全等梯形。 铺垫性的准备练习后，拿出 4 平方厘米的测量板，用数方格 的方法，算出梯形面积是多少。 （梯形面积占满 8 个方格，每个方格是 4 平方厘米，梯形面积为 32平方厘米。 ） 然后，让学生将事前准备好的两个全等梯形，一正放，一倒放拼在一起，组成一个平行四边形。 提出点拔题：这个平行四边形的底是由梯形的什么组成的。 ②怎样求出平行四边形的面积。 ③怎样求出一个梯形的面积。 如图： 由此得出：梯形面积 =（上底 +下底）高247。 2。 也可以用一个梯形通过割、拼的方法，转化成平行四边形。 如图： 通过上图可以清楚地推导出： 还可以通过对一个梯形的割、补，使其转化为三角形，运用求三角形面积的公式，对照观察，从而推导出求梯形面积的公式。 对转化后的图观察可知，三角形的底为梯形上底加下底的和，三角形的高相当于原来梯形的高。 由此可以推导出梯形面积公式： 在此基础上，抽象成求梯形面积的字母公式为： S=（ a＋ b） h247。 2。 此时，可安排含有具体数字的求梯形面积的练习，以巩固对公式的运用。 当推导求梯形面积的第二个公式时，可先让学生在自制的梯形学具上，找出 两腰的中点，画出中位线，然后把右下角剪下来，拼在右上方，使梯形转化为平行四边形。 如图： 割、补后，梯形已转化成平行四边形，面积大小未变。 梯形的中位线相当于平行四边形的底，梯形的高也是平行四边形的高。 用字母公式表示为： S=m h。 第二个公式除转化成平行四边形推导外，还可以转化成长方形进行推导。 有了前面的推导基础，这个推导过程，应以学生自己思考为主。 由此也可以推导出梯形面积公式： 296．什么叫做“圆”。 在小学数学教材中，圆是平面图形里最后出现的图形。 建立圆的概念、明确圆的各部分之间的关系，对于解答圆的周长和面积等实际问题，无疑都是重要的前提条件。 圆的概念是：当一条线段绕着它固定的一端（下图中的 O点）在平面上旋转一周时，它的另一个端点（下图中的 A点）所画成的封闭曲线，叫做圆。 到了中学，圆还可以这样下定义：“平面内和一个定点的距离等于定长的点的轨迹”。 或者说：“平面内和一个定点的距离等于定长的点的集合。 ” 定点叫做圆的圆心（图中的 O点）；连接圆心和图上任意一点的线段，叫做圆的半径（图中的 OA）；过圆心的弦，叫做圆的直径（图中的 BC）；圆所包围的平面部分，叫做圆面。 其表示符号为：圆用符号“⊙”表示，以 O为圆心的圆、记作“⊙ O”，读作“圆 O”；半径用字母“ r”表示，直径用字母“ d”表 示。 通过对任意半径和任意直径的测量，可以发现：在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径等于半径的 2倍。 其字母公式为： 圆是轴对称图形。 即：把圆沿着它的任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就完全重合在一起。 经过圆心的任意一条直线（即直径）都是圆的对称轴。 如图： 圆又是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。 297．什么叫轴对称和轴对称图形。 轴对称和轴对称图形是两个有联系的概念。 轴对称是指：对于两个几何图形，如果连结他们的对应点之间的线段均被某一定直线垂直平分，这样的两个图形叫做关于这一定直线对称。 也就是说，这两个图形轴对称。 这 一定直线叫对称轴。 轴对称图形是指：如果一个图形关于一定直线的对称图形和它自身重合，这样的图形叫做轴对称图形。 这条直线叫做这一图形的对称轴。 轴对称图形并不仅限于圆，其他象等腰三角形、等边三角形以及菱形等，也都是轴对称图形。 如图： 如图中，沿着直线 MN 对折后，三角形 ABC 全部 重合到三角形 A＇ B＇ C＇上，三角形 ABC 与三角形 A＇ B＇ C＇是轴对称图形，直线 MN是对称轴。 又如右上图中，四边形 ABCD 沿对角线对折后，对角线两旁的图形能全部重合，所以，四边形 ABCD 是以对角线 AC 为对称轴的轴对称图形。 298．什么叫中心对称和中心对称图形。 中心对称和中心对称图形，这也是两个有联系的概念。 中心 对称是指：对于两个几何图形，如果连结它们的对应点之间的线段的中点都和某一定点重合，那么这两个图形就叫中心对称，这一定点，叫做对称中心。 中心对称图形是指：如果绕着一个定 点旋转 180176。 后，两个图形中的每一个能够与另一个原来的位置互相重合，那么，这个图形叫做以这个定点为对称中心的中心对称图形。 如图： 图中的三角形 A＇ B＇ C＇绕着定点 O旋转 180176。 后，与三角形 ABC 的原来位置互相重合，因此，三角形 ABC 与三角形 A＇ B＇ C＇是以 O 点为对称中心的 中心对称图形。 除此之外，如果一个图形绕着某一点旋转 180176。 后，能够和原来图形本身位置重合，就称这个图形为中心对称图形。 这一点叫做对称中心。 以平行四边形为例： 图中的四边形 ABCD 是平行四边形，绕着对角线交点 O 旋转 180176。 后，能够和原来图形位置重合，因此，平行四边形是以对角 线交点 O为对称中心的中心对称图形。 299．什么是弦和弧。 弦和弧是和圆有关的两个概念，这两个概念是不能混淆的。 弦的概念是：对于一个圆，连结圆上任意两点的线段叫做弦。 弦里面包括直径，因为通过圆心的弦叫做直径，但弦里面又不限于直径，因为“连结圆上任意两点的线段”并不一定都通过圆心。 如图： （ l）（ 2）的图中，。