20xx研究生考试数学3五大特别专题辅导(编辑修改稿)

20xx研究生考试数学3五大特别专题辅导(编辑修改稿)内容摘要：

2 3 22339。 21 9 21 2 0 1 6 1 0 0 1 0 0 0739 3 22 0 1 0 0 0 .73186( ) 2 0 27Q Q Q Q Q QL Q Q Q           令 39。 5( ) 0 , 1 4 , ( )7得 驻 点 舍 去L Q Q Q    又 0l im ( ) 1 0 0 0 ( 0 )Q L Q L    0lim ( )Q LQ  故产量 Q=14 时企业取得最大利润。 3. 自动生产线上加工的零件的内径 X（ mm）服从正态 分布 ( ,1)N ，内径小于 10 或大于 12mm 14 的为不合格品，其余为合格品。 每件产品的成本为 10 元，内径小于 10mm 的可再加工成合格品，尚需加工费 5 元。 全部合格品在市场上销售，每件合格品售价 20 元。 问零件的平均内径  取何值时，销售一个零件的平均销售利润最大。 解：每件产品的销售利润 L 与自动生产线加工的零件的内径 X（ mm）有如下关系： 5 , 1 0 ,( ) 1 0 , 1 0 1 2 ,1 0 , 1 2 .若若若XL L X XX     平均利润为 10 { 10 12 } 5 { 10 } 10 { 12 }10 [ ( 12 ) ( 10 ) ] 5 ( 10 ) 10 [ 1 ( 12 ) ]20 ( 12 ) 5 ( 10 ) 10 ,E L P X P X P X                            其中 ()x 是标准正态分布函数， 39。 ( ) ( )xx ─ 标准正态密度。 因此，有 2222( 12 ) ( 10 )22( 12 ) ( 10 )2222()20 ( 12 ) 5 ( 10 ) 0 ,20 50,224。 ( 12 ) ( 10 ) 2 l n 4。 11 l n 2.dEL xdeeee                  即当 0 11 ln 2 10 .3 1 mm   时，平均利润最大。 4. 某企业生产一种产品，其利润通过职工的工资福利及培训费用来实现利润 的大小，费用分别为 x（万元）及 y（万元）。 产品的产量 3125 50049xyQ ，其利润是产量 Q 的 15 再扣除工资福利费及培训费。 （ 1） 求在企业资金充足时， x， y 分别为多少时，利润最大； （ 2） 在工资福利费与培训费总和不超过 55 万元时，应如何分配这两种费用，使企业利润最大。 解：（ 1）利润函数 15 221 312 5 500( , ) ( )5 4 9625 10049625 410( 4 )100 910( 9 )xyL x y x yxyxyxyxyLxxLyx            得 4 25 29 10 3xy      46( )21 )万 元（ 万 元xy 2322232625 4 2( 4 )0100 9 2( 9 )LxxLxyLyy         在点（ 46， 21）处 2 2 24 6 4 6 4 6222 1 2 1 2 1| 0 | 0 | 0x x xy y yL L LA B Cx x y y               2 0 , 0又B AC A   于是当 x=46（万元）， y=21（万元）时，利润 L（ x， y）取得极大值。 又 lim ( , )xy L x y   00lim ( , )lim ( , )xyL x yL x y     故 当 x=46（万元）， y=21（万元）时，利润最大。 （ 2）作拉格朗日函数 16 39。 239。 21 31 25 50 0( , ) ( ) ( 55 )5 4 962 5 10 0( 55 )4962 5 4( , ) 1 0 ( 1 )( 4 )10 0 9( , ) 1 0 ( 2)( 9 )55 ( 3 )xyxyF x y x y x yxyxyx y x yxyF x yxF x yyxy                   由（ 1）式2625 41 (4 )x  代入（ 2）式得 22100 9 625 40( 9 ) ( 4 )30 503 ( 4 ) 5 ( 9 )943 5 33 ( ) , )55得得 万 元 （ 万 元yxxyyxxyxyxy    点（ ， ）是唯一驻点，由实际问题得知，当工资福利费用为 万元，培训费为 万元时，使企业利润最大。 5. 已知某垄断厂商生产某产品的成本为 0，其产品的需求价格弹性21()P Q ，其中 Q 是该产品的产量， P 为其价格，已知当 Q=0 时 P=10。 （ I） 试求价格函数：将 P 表示成 Q 的函数； （ II） 求厂商利润最大化时的产量和利润。 解：（ I）设 Q=Q（ P），由价格弹性的定义可知 21P d dP Q  ，且由初始条件 P（ 0） =10，用分离变量法求解方程并代入已知条件可得 2210 QPe (II)厂商利润可以表示为 22( , ) 1 0 0QP Q P Q C e Q       一阶条件得到 2239。 ( ) 1 0 1 0 0Q e Q Q e     得 Q=1（ Q=1 不合题义，舍去） 17 此时其利润为 1210e  评注 厂商取得最大利润时价格弹性为 1，这可以用来验证题目所得结果是否正确，其实此题可以令 1 ，直接解得 Q=1。 6. 某商品交易市场上的税收收入与交易的成交额之间的关系经统计资料分析为：税收的收入随成交额增加的增长率等于税收收入的立方与成交额立方的 2 倍的差、再除以成交额与税收收入平方之积的 3 倍。 若成交额为 x=1（万元）时，税收收入 y=2（百元），试求该商品市场的税收收入与成交额之间的函数关系。 解：依题设，税收收入 y（百元）与成交额 x（万元）的函数关系满足的微分方程： 3322 (1 ) 23 且d y y x yd x x y 此方程即为 32( ) 23( )ydy xydxx 设 yu x ，则 39。 dy u xudx  原方程变为 339。 223uu xu u  2 3233 2 l n( 1 ) l n l n1 u du dx u x Cux      即 33221 1 ( )C y Cu x x x     33 (1 ) 2 9将 代 入 得x y C x y C    所求函数关系为 339y x x 7. 设某商品的价格与需求量之间具有线性关系。 当价格从 2 元上升到 4 元时，产品的需求量从 1000 件下降到 800 件。 （ I） 求需求函数； （ II） 求当价格为 10 元时的需求弹性并说明其经济意义。 解：（ I）设需求量为 Q、价格为 P，则需求函数为 Q=a+bP P=2 时， Q=1000， P=4 时， Q=800 代入得 2 10004 800abab  解得 a=1200、 b=100  Q=1200100P. 18 (II)需求弹性为 12d dQ P PdP Q p      当 P=10 时， 10 10d  这说明当价格为 10元时，价格增加 1%，则需求量减少 5%；价格减少 1%，则需求量增加5%。 8. 某地区研究消费需求量时，发现在稳定条件下，需求量 y 只与消费者个人收入 x 有关。 经测算，消费需求增长率对消费者个人收入增长率之比的平均弹性为 ，且当消费者收入x=1 时，消费需求量 y=e。 （ I） 求需求量 y 与个人收入 x 之间的函数关系； （ II） 求消费者个人收入为 3时的消费需求量。 解：（ I）设消费者的需求量为 y，消费者的收入为 x。 则消费需求量增长率对消费者个人收入增长率之比即为 y对 x的弹性。 () dy xExdx y 其平均弹性为 ( ) 1() E x dyExx y dx   于是得 ()dy E x dxy  将题设条件代入得 ( 1 ) dx y ey  解此方程得 Ce ，代入初始条件得 Ce  所求函数关系为 ee （ II）当 x=3 时的消费需求量为 0 .5 3 2 7 .4y ee e   9. 设某种产品的产量是劳动力 x 和原料 y 的函数 3 / 4 1 / 4( , ) 60f x y x y。 假定每单位劳动力费用100 元，每单位原料费用 200 元，现有资金 30000 元用于生产。 为得到最多的产品，应如何安排劳动力和原料。 解：本问题为求函数 3 / 4 1 / 4( , ) 60f x y x y 在条件 100x+200y=30000 下 的 极 值。 设3 / 4 1 / 4( , ) 60 ( 10 0 20 0 30 00 0)F x y x y x y    19 则39。 1 / 4 1 / 439。 3 / 4 3 / 44 5 1 0 0 01 5 2 0 0 01 0 0 2 0 0 3 0 0 0 0xyF x yF x yxy       解得 x=225 y= 由于 x=22 y= 为函数的唯一驻点，且实际问题有最大值，故它是最大值点。 即安排劳动力 225 个单位、原料为 个单位时，能得到最多的产量。 10. 某商场的销售成本 y 和存贮费用 s 均是时间 t 的函数。 随着 t 的增长，销售成本的变化率等于存贮费用的倒数与常数 5 之和。 而存贮费用的变化率 为存贮费用的 13 倍的相反数。 若当t=0 时，销售成本 y=0，存贮费用 s=10，试求销售成本与时间的函数关系及存贮费用与时间的函数关系。 解：由题设，有 1 5dydt s ① 13ds sdt ② 解微分方程 ②得： 31 tS Ce 由初始条件 0| 10tS   得 1 10C 310 tSe 将上式代入①中得： 31 510 tdy edt  解得。