20xx版--数学(08冲刺)课程电子版教材(编辑修改稿)

20xx版--数学(08冲刺)课程电子版教材(编辑修改稿)内容摘要：

 计算 2||DI y x d xd y 其中 { ( , ) || | 1 , 0 2 }D x y x y    交换二次积分的积分次序222614 ( , )xxd x f x y d y  . 交换二次积分的积分次序 0112 ( , )yd y f x y d x  . 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列 考研数学冲刺讲义 13 设函数 ()fx在 [0,1] 上连续，并设 10 ()f x dx A，求 110 ( ) ( )xd x f x f y d y [例题与练 习题答案或提示 ] 213l n ( 6 1 3 ) 4 a r c ta n22 xx x C    c o t ln s in c o tx x x x C    2 tanxe x C 2arctan 1x Cx  415 21ln2 x 2 2 222 l n ( 1 ) l n ( 1 )1x x x x x Cx       4 ln3 12 34 ln(2 3)2  (1) L 上凸 （ 2） 1yx （ 3） 73 1 4 2 ln( 2 1)3  532 8 2 0 2 10 2 1 1 2 1( , ) ( , )yyd y f x y d x d y f x y d x        2110 ( , )xdx f x y dy 212A 167。 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列 考研数学冲刺讲义 14 本节主要有两个问题 一、根据实际问题所给的条件建立有自变量，未知函数及未知函数的导数的方程，以及相应的初始条件； 二、求解方程，包括方程的通解和满足初始条件的特解 . [例题与练习题 ] 微分方程 tan cosy y x x的通解为 y . 已知曲线 ()y f x 过点 10,2，且其上任一点 (,)xy 处的切线斜率为2ln(1 )xx ，则 ()fx . 微分方程 312dy y ydx x x满足 1 1xy  的特解为 y . 求4dy ydx x y 的通解 微分方程 22 xy y y e   的通解为 . 函数 12( c o s s in )xy e c x c x满足的二阶线性常系数齐次微分方程为 . 设0( ) s i n ( ) ( )xf x x x x t f t dt  ，其中 ()fx连续，求 ()fx. 若 ()fx连续，满足 20( ) ln 22x tf x f d t ，则 ()fx= . 已知 221 2 3,x x x x x x xy x e e y x e e y x e e e      是某二阶常系数非齐次线性方程的三个解，求此微分方程及其通解 . 求通过点（ 3， 0）的曲线方程，使曲线上任意点处切线与 y轴之交点与切点的 距离等于此交点与原点的距离 . 设函数 ()fx在 [1, ) 上连续，若曲线 ()y f x ，直线 1, ( 1)x x t t  与 x 轴围成平面图形绕 x轴旋转一周所成旋转体的体积 2( ) [ ( ) (1)]3V t t f t f，试求 ()y f x 所满足的微分方程，并求2 29xy  的解 . [例题与练习题答案或提示 ] ( )cosx c x 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列 考研数学冲刺讲义 15 221 (1 ) ln (1 ) 12 xx   1 lnx x 413x y Cy 12(1 c o s s in )xy e c x c x   2 2 0y y y    213( ) c o s sin44f x x x x x 2 ln2xe 2212x x x xy c e c e x e e    2 23924xy   31 xy x  167。 （数学一，三） 无穷级数在数学和其他科学的研究中都是有效的工具，它是一个函数或一个数的另一种表达形式，本节包含数项级数和函数项级数两部分内容 . 主要考查的内容是： 一、 数项级数的敛散性及求幂级数的收敛域； 二、 将函数展开为幂级数； 三、 求某 些数项级数的和或某些幂级数的和函数； 四、 将函数展开为傅里叶级数，收敛定理 . [例题与练习题 ] 设级数1 nn u收敛，则必收敛的级数为 （ ） （ A）1( 1)n nnun  （ B） 21 nn u （ C）2 1 21 ()nnn uu  （ D）11 ()nnn uu  设 a 为常数，则级数21 sin( ) 1n nan n （ ） 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列 考研数学冲刺讲义 16 （ A）绝对收敛 （ B）条件收敛 （ C）发散 （ D）收敛性与 a 的取值有关 判断级数1! ( 0)n nnan an 的敛散性 . 判断级数1ln(1 )( 1) 1nnnn  的敛散性 . 求幂级数 1 2 l1( 1)(2 1)nnnxnn  的收敛域及和函数 . 求幂级数 11l2 nnn xn  的收敛域及 和函数 . 将函数 12( ) arcta n 12xfx x 展开成 x 的幂级数，并求级数1( 1)21nn n 的和 . 将函数2 1() 32fx xx 展开成 x 的幂级数，并指出其收敛区间 . 设 20 c o s ( )nnx a n x x   ，则 2a . [例题与练习题答案或提示 ] （ D） （ C） 当 ae 时 ，级数收敛，当 ae 时，级数发散 收敛 收敛域为 [1， 1]和函数 22( ) 2 a r c t a n l n( 1 )S x x x x x   收敛域 [2， 2) 111 l n 1 2 0 , 0 2 ,22 1 0.2nnnx xxx xn x           210( 1 ) 4 1 1( ) 2 ,4 2 1 2 2nn nnf x x xn         0( 1)2 1 4nn n  10 1( ) 1 ( 1 , 1 )2 nnnf x x x     新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列 考研数学冲刺讲义 17 1 167。 （数学一） 本节的重点是向量的概念，向量的几种运算；线性运算，数 量积，向量积和混合积；平面与直线的各种方程以及直线与直线、平面与平面、直线与平面的关系等 . 通过对历年试题归类分析可知，本节考试题型有： 一、 求向量的数量积，向量积及直线或平面的方程 二、 与多元微分学在几何上应用相关的题目 [注 ]二次曲面的知识到目前为目，尚未单独命题考查，但在二重积分，曲面积分中将用到它所以也应复习，知道每种方程表示什么曲面 . [例题与练习题 ] 已知 2 , 2 , 2a b a b   且，则 ab （ ） （ A） 2 （ B） 22 （ C） 22 （ D） 1 点（ 2， 1， 0）到平面 3 4 5 0x y z   的距离 d . 过点 (1,2, 1)P  且与直线 2341xtL y tzt  垂直的平面方程是 . 两直线1 1 5 8: 1 2 1x y zL   与2 6: 23xyL yz 的夹角为 （ ） （ A） 2 （ B） 3 （ C） 4 （ D） 6 曲面 22z x y与平面 2 4 0x y z   平行的切平面方程是 . 曲面 2 2 22 3 21x y z  在点（ 1， 2， 2）的法线方程为 . 由曲线 223 2 120xyz   绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点 (0, 3, 2) 处的指向外侧的单位法向量为 . [例题与练习题答案或提示 ] （ A） 2 3 4 0x y z    （ B） 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列 考研数学冲刺讲义 18 2 4 5x y z   1 2 21 4 6x y z    1 0, 2, 35 167。 （ 2）（数学一） 本节内容包括三重积分，曲线积分与曲面积分等，其重点内容是：上述积分的概念和性质；三重积分的计算；格林公式以及平面上曲线积分与路径无关的充要条件，并会利用它们计算曲面积分；高斯公式与斯托克斯公式；场论初步；上述积分在几何与物理上的应用 . 本节常考的典型题型有： 一、 三重积分的计算（直角坐标、柱面坐标、球面坐标） 二、 对弧长和对坐标 的曲线积分的计算，格林公式及其应用 三、 对面积和对坐标的曲面积分的计算，高斯公式及其应用 四、 梯度、散度、旋度的综合计算 五、 利用上述积分求几何量与物理量（体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等） [例题与练习题 ] 计算 ()I x z dv，其中  是由曲线 22z x y与 221z x y   所围成的区域 . 计算三 重积分22()x y z dv ，其中  是由曲线 2 20yzx   绕 z 轴旋转一周而成的曲面与 4z 所围成的立体 . 计算 ||L x ds，其中 :| | | | 1L x y. 设 L 为 22143xy，其周长为 a，求 22( 2 3 4 )L x y x y d s 计 算 曲 线 积 分 ( ) ( ) ( )LI z y d x x z d y x y d z     ， 其 中 L 是 曲 线2212xyx y z     从 z 轴正向往负向看 L 方向是顺时针方向 . 计 算曲线积分224xdy ydxI xy 其中 L 是以点（ 1， 0）为中心， R 为半径的圆周（ R1）取逆时针方向 . 设 ,)0( of  试确定 )(xf 使 ( ) ( ) ( , ) .xx e f x y d x f x d y d u x y   并求 ),( yxu . 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列 考研数学冲刺讲义 19 计算曲面积分 ,)(222  dSzyx其中  是球面 .2222 azzyx  计算曲面积分 2 3 ,I x z d y d z z y d z d x x y d x d y  其中  是曲面  221 0 14yz x z    的上侧 . 求八分之一的球面 0,0,0,2222  zyxRzyx 的边界曲线 的质心 ,设曲线的线密度 1 . 算 2 2 2 2 2 2( ) ( 2 ) ( 3 ) ,LI y z d x z x d y x y d z     其中 L 是平面2 z。