20xx年高考数学分类详解----数列(编辑修改稿)

20xx年高考数学分类详解----数列(编辑修改稿)内容摘要：

1 )5 6 7 8 2 1 25 1 1 ( 1 )24 fnnnnT a a a a a a     5 6 1 2 2 1 25 1 1 124nna a a a a a   ≤ 315 1 1 1 12 4 9 2 9 2 2 n   ≤ 5 1 524 9 2 24n   ． 综上，当 nN* 时， 156 24nT≤ ≤． （ 浙江文 19） 已知数列 { na }中的相邻两项 21ka 、 2ka 是关于 x 的方程2 ( 3 2 ) 3 2 0kkx k x k     的两个根，且 21ka ≤ 2ka (k ＝ 1， 2， 3，„ )． Linsd68 整理 第 12 页，共 45 页 (I)求 1 3 5 7, , ,a a a a 及 2na (n≥ 4)(不必证明 )； (Ⅱ )求数列 { na }的前 2n 项和 S2n． 本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分 14 分． (I)解：方程 2 ( 3 2 ) 3 2 0kkx k x k    的两个根为 123 , 2kx k x． 当 k＝ 1 时， 123, 2xx，所以 1 2a ； 当 k＝ 2 时， 126, 4xx，所以 3 4a ； 当 k＝ 3 时， 129, 8xx，所以 5 8a ； 当 k＝ 4 时， 1212, 16xx，所以 7 12a ； 因为 n≥ 4 时， 23n n ，所以 2 2 ( 4)nnan （Ⅱ） 22 1 2 2( 3 6 3 ) (2 2 2 )nnnS a a a n           ＝2 133 222 nnn  ． （ 天津理 21） 在数列 na 中， 1112 ( 2 ) 2 ( )nnnna a a n        N， ，其中0 ． （ Ⅰ ）求数列 na 的通项公式； （ Ⅱ ）求数列 na 的前 n 项和 nS ； （ Ⅲ ）证明存在 k N ，使得 11nkaa≤ 对任意 n N 均成立． 本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前 n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识 分析问题和解决问题的能力．满分 14 分． （ Ⅰ ）解法一： 2 2 22 2 (2 )2 2a         ， 2 2 3 2 3 33 ( 2 ) (2 )2 2 2a           ， 3 3 4 3 4 44 (2 2 ) (2 )2 3 2a           ． Linsd68 整理 第 13 页，共 45 页 由此可猜想出数列 na 的通项公式为 ( 1) 2nnnan   ． 以下用数学归纳法证明． （ 1）当 1n 时， 1 2a ，等式成立． （ 2）假设当 nk 时等式成立，即 ( 1) 2kkkak   ， 那么 111 (2 )2kkkaa       11( 1 ) 2 2 2k k k k kk          11[( 1) 1] 2kkk     ． 这就是说，当 1nk时等式也成立．根据（ 1）和（ 2）可知，等式 ( 1) 2nnnan   对任何 n N 都成立． 解法二：由 11 ( 2 ) 2 ( )nnnna a n        N， 0 ， 可得 111 22 1nnnnaa                ， 所以 2 nnna为等差数列，其公差为 1，首项为 0，故 2 1nnna n   ，所以数列 na 的通项公式为 ( 1) 2nnnan   ． （ Ⅱ ）解：设 2 3 4 12 3 ( 2 ) ( 1 )nnnT n n           ， ① 3 4 5 12 3 ( 2 ) ( 1 )nnnT n n              ② 当 1 时， ① 式减去 ② 式， 得 212 3 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 nn n nnT n n              ， 2 1 1 2 1 222( 1 ) ( 1 )( 1 ) 1 ( 1 )n n n nn n n nT                   ． 这时数列 na 的前 n 项和 2 1 2 12( 1 ) 22(1 )nn nn nnS        ． 当 1 时， ( 1)2n nnT ．这时数列 na 的前 n 项和 1( 1) 222 nn nnS   ． （ Ⅲ ）证明：通过分析，推测数列 1nnaa的第一项 21aa 最大，下面证明： Linsd68 整理 第 14 页，共 45 页 21 214 ,22nna a naa   ≥． ③ 由 0 知 0na ，要使 ③ 式成立，只要 212 ( 4 ) ( 2 )nna a n  ≥， 因为 2 2 2( 4 ) ( 4 ) ( 1 ) ( 1 ) 2nnnan         124 ( 1 ) 4 2 4( 1 ) 2n n n nnn          12 12 2 2 2nn nn a n   ，≥ ≥． 所以 ③ 式成立． 因此，存在 1k ，使得 1121nkaa aa a a≤ 对任意 n N 均成立． （ 天津文 20） 在数列 na 中， 1 2a ， 1 4 3 1nna a n   ， n*N ． （ Ⅰ ）证明数列  nan 是等比数列； （ Ⅱ ）求数列 na 的前 n 项和 nS ； （ Ⅲ ）证明不等式 1 4nnSS ≤ ，对任意 n*N 皆成立． 本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前 n 项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分 12 分． （ Ⅰ ）证明：由题设 1 4 3 1nna a n   ，得 1 ( 1) 4( )nna n a n    ， n*N ． 又 1 11a ，所以数列  nan 是首项为 1，且公比为 4 的等比数列． （ Ⅱ ）解：由（ Ⅰ ）可知 14nnan ，于是数列 na 的通项公式为 14nnan． 所以数列 na 的前 n 项和 4 1 ( 1)32nn nnS ． （ Ⅲ ）证明：对任意的 n*N ， Linsd68 整理 第 15 页，共 45 页 11 4 1 ( 1 ) ( 2 ) 4 1 ( 1 )443 2 3 2nnnn n n n nSS          21 (3 4 ) 02 nn    ≤． 所以不等式 1 4nnSS ≤ ，对任意 n*N 皆成立． （ 四川文 22） 已知函数 f（ x） =x2－ 4，设曲线 y＝ f（ x）在点（ xn， f（ xn））处的切线与 x轴的交点为（ xn+1,u）（ u,N +），其中为正实数 . （ Ⅰ ）用 xx表示 xn+1； （ Ⅱ ）若 a1=4，记 an=lg 22nnxx，证明数列｛ a1｝成等比数列，并求数列｛ xn｝的通项公式； （ Ⅲ ）若 x1＝ 4， bn＝ xn－ 2， Tn 是数列｛ bn｝的前 n 项和，证明 Tn3. 解析：本题综合考 查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力． （Ⅰ）由题可得 39。 ( ) 2f x x ． 所以曲线 ()y f x 在点 ( , ( ))nnx f x 处的切线方程是： ( ) 39。 ( ) ( )n n ny f x f x x x  ． 即 2( 4 ) 2 ( )n n ny x x x x   ． 令 0y ，得 2 1( 4 ) 2 ( )n n n nx x x x   ． 即 2 142n n nx x x  ． 显然 0nx ，∴1 22nn nxx x ． （Ⅱ）由1 22nn nxx x ，知 21 ( 2)22222nnn nnxxx xx     ，同理 21 2)2 2nn nxx x ． 故 21122()nnxx． 从而 1122lg 2 lgnnxx，即 1 2nnaa  ．所以，数列 {}na 成等比数列． Linsd68 整理 第 16 页，共 45 页 故 1 1 111 1 22 2 l g 2 l g 32n n nn xaa x    ． 即 12lg 2 lg 32 nnnxx  ． 从而 122 32 nnnxx   所以 11222(3 1)31nnnx  （Ⅲ）由（Ⅱ）知 11222(3 1)31nnnx  ， ∴12 42031nnnbx     ∴ 11 1 1 1212 2 2 23 1 1 1 1 133 1 3 1 3 3nn n nn nbb        当 1n 时，显然 1123Tb   ． 当 1n 时， 211 2 11 1 1( ) ( )3 3 3 nn n nb b b b    ∴ 12nnT b b b    11 1 111()33nb b b    11[1 ( ) ]311 3nb  13 3 ( ) 33 n    ． 综上， 3nT ( *)nN ． （ 上海理 20） 若有穷数列 12, ...na a a （ n 是正整数），满足 1 2 1 1, ... .n n na a a a a a  即 1i n iaa （ i 是正整数，且 1 in ），就称该数列为“对称数列”。 （ 1）已知数列 nb 是项数为 7 的对称数列，且 1 2 3 4, , ,b b b b 成 等差数列，Linsd68 整理 第 17 页，共 45 页 142, 11bb，试写出 nb 的每一项 （ 2）已知 nc 是项数为  2 1 1kk的对称数列，且 1 2 1, ...k k kc c c构成首项为 50，公差为 4 的等差数列，数列 nc 的前 21k 项和为 21kS ，则当 k 为何值时， 21kS取到最大值。 最大值为多少。 （ 3）对于给定的正整数 1m ，试写出所有项数不超过 2m 的对称数列，使得211,2,2 ...2m 成为数列中的连续项；当 1500m 时，试求其中一个数列的前 2020项和 2020S 解 ： （ 1）设 nb 的公差为 d ，则 1132314  ddbb ，解得 3 ，  数列 nb 为 2 5 8 11 8 5 2， ， ， ， ， ， ． （ 2） 12112112   kkkkk ccccccS  kkkk cccc   )(2 121 ， 50134)13(4 2212  kS k ，  当 13k 时， 12kS 取得最大值． 12kS 的最大值为 626． （ 3）所有可能的 “ 对称数列 ” 是 ： ① 2 2 1 2 21 2 2 2 2 2 2 2 1m m m  ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； ② 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 2 2 2 2 1m m m m   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，；。