20xx年高考数学分类详解----圆锥曲线(编辑修改稿)

20xx年高考数学分类详解----圆锥曲线(编辑修改稿)内容摘要：

|||| 。 故 8s i ns i n24)2c o s1(s i n 42c o s|||| 2 22  a aaaaFPFP。 解法二：设 ),( AA yxA ， ),( BB yxB ，直线 AB 的斜率为 ak tan ，则直线方程为)2(  xky。 将此式代入 xy 82 ,得 04)2(4 2222  kxkxk ，故22 )2( kkkxx BA 。 记直线 m 与 AB 的交点为 ),( EE yxE ，则 22 )2(22 kkxxx BAE  ， kxky EE 4)2( ， 故直线 m 的方程为  22 4214 kkxkky. 令 y=0,得 P 的横坐标 44222  kkxP 故 akkxFP P 222 s in4)1(42|| 。 从而 8s i ns i n24)2c o s1(s i n 42c o s|||| 2 22  a aaaaFPFP为定值。 （重庆理 22) (本小题满分 12 分 )如图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F（ 3， 0），右准线 l的方程为： x = 12。 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）在椭圆上任取三个不同点 321 , PPP ，使 133221 FPPFPPFPP  ，证明 || 1|| 1|| 1 321 FPFPFP 为定值，并求此定值。 X O F Y 2P 1P 3P l Linsd68 整理 第 14 页，共 52 页 （浙江文 21)(本题 15 分 )如图，直线 y＝ kx＋ b 与椭圆 2 2 14x y交于 A、 B 两点，记△AOB 的面积为 S． (I)求在 k＝ 0， 0＜ b＜ 1 的条件下， S 的最大值； （Ⅱ )当｜ AB｜＝ 2， S＝ 1 时，求直线 AB 的方程． 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分 15 分． (I)解：设点 A的坐标为 ( 1( , )xb，点 B 的坐标为 2( , )xb， 由 2 2 14x y，解得 21,2 21xb  所以 2 2 2121 | | 2 1 1 12S b x x b b b b        当且仅当 22b 时，． S 取到最大值 1． （Ⅱ）解：由 22 14y kx bx y 得 2 2 2( 4 1 ) 8 4 4 0k x k bx b     2216 (4 1)kb    ① ｜ AB｜＝ 222212 21 6 ( 4 1 )1 | | 1 241kbk x x k k      ② 又因为 O 到 AB 的距离2| | 2 1||1 bSd ABk   所以 221bk ③ ③代入②并整理，得 424 4 1 0kk   解得， 2213,22kb，代入①式检验，△＞ 0 故直线 AB 的方程是 2622yx或 2622yx或 2622yx   或 2622yx   ． （ 天津文 22） （本小题满分 14 分）设椭圆 22 1( 0)xy abab   的左、右焦点分别为yxOABLinsd68 整理 第 15 页，共 52 页 12F F A， ， 是椭圆上的一点， 2 1 2AF FF ，原点 O 到直线 1AF 的距离为 113OF ． （ Ⅰ ）证明 2ab ； （ Ⅱ ）求 (0 )tb ， 使得下述命题成立：设圆 2 2 2xyt上任意点 00()M x y， 处的切线交椭圆于 1Q ， 2Q 两点，则 12OQ OQ ． 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查 曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分 14分． （ Ⅰ ）证法一：由题设 2 1 2AF FF 及 1( 0)Fc， ， 2( 0)Fc， ，不妨设点 ()Ac y， ，其中 0y ，由于点 A 在椭圆上，有 221cyab， 2 2 2221a b yab ， 解得 2by a ，从而得到 2bAca， 直线 2AF 的方程为 2 ()2by x cac，整理得 2220b x ac y b c  ． 由题设，原点 O 到直线 1AF 的距离为113OF，即 24 2 23 4c b cb a c  ， 将 2 2 2c a b代入原式并化简得 222ab ，即 2ab ． 证法二：同证法一，得到点 A 的坐标为 2bca， 过点 O 作 1OB AF ，垂足为 H ，易知 1 1 2F BC F F A△ ∽ △ ，故 211BO F AOF F A 由椭圆定义得 122AF AF a，又113BO OF，所以 A O 1F 2F H x y Linsd68 整理 第 16 页，共 52 页 2212132F A F AF A a F A ， 解得2 2aFA，而 22 bFA a，得 2 2baa ，即 2ab ． （ Ⅱ ）解法一：圆 2 2 2xyt上的任意点 00()M x y， 处的切线方程为 200x x y y t． 当 (0 )tb ， 时，圆 2 2 2xyt上的任意点都在椭圆内，故此圆在点 A 处的切线必交椭圆于两个不同的点 1Q 和 2Q ，因此点 1 1 1()Q x y， ， 2 2 2()Q x y， 的坐标是方程组 2002 2 222x x y y txyb  ① ②的解．当 0 0y 时，由 ① 式得 2 00t x xy y 代入 ② 式，得 22220022t x xxby，即 2 2 2 2 4 2 20 0 0 0(2 ) 4 2 2 0x y x t x x t b y    ， 于是 2 012 220202 txxx xy ， 4 2 2012 2202022t b yxx xy  2 201 1212 t x x t x xyy yy  4 2 20 1 2 0 1 2201 ()t x t x x x x xy     2 4 2 24 2 200002 2 2 2 20 0 0 0 04 2 21 22t x t b yt x t xy x y x y    4 2 20220202t b xxy ． 若 12OQ OQ ，则 4 2 2 4 2 2 4 2 2 20 0 0 01 2 1 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 02 2 2 3 2 ( ) 02 2 2t b y t b x t b x yx x y y x y x y x y         ． 所以， 4 2 2 2020 2 ( ) 0t b x y  ．由 2 2 200xyt，得 4 2 23 2 0t b t．在区间 (0 )b， 内此方Linsd68 整理 第 17 页，共 52 页 程的解为 63tb ． 当 0 0y 时，必有 0 0x ，同理求得在区间 (0 )b， 内的解为 63tb ． 另一方 面，当 63tb 时，可推出 1 2 1 2 0x x y y，从而 12OQ OQ ． 综上所述， 6 (0 )3t b b， 使得所述命题成立． （ 天津理 22） （本小题满分 14 分）设椭圆 22 1( 0)xy abab   的左、右焦点分别为12F F A， ， 是椭圆上的一点， 2 1 2AF FF ，原点 O 到直线 1AF 的距离为 113OF ． （ Ⅰ ）证明 2ab ； （ Ⅱ ）设 12， 为椭圆上的两个动点， 12OQ OQ ，过原点 O 作直线 12 的垂线 OD ，垂足为 D ，求点 D 的轨迹方程． 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分 14 分． （ Ⅰ ）证法一：由题设 2 1 2AF FF 及 1( 0)Fc， ， 2( 0)Fc， ，不妨设点 ()Ac y， ，其中0y ．由于点 A 在椭圆上，有 221cyab，即 2 2 2221a b yab ． 解得 2by a ，从而得到 2bAca，． 直线 1AF 的方程为 2 ()2by x cac，整理得 2220b x ac y b c  ． 由题设，原点 O 到直线 1AF 的距离为113OF，即 24 2 23 4c b cb a c  ， 将 2 2 2c a b代入上式并化简得 222ab ，即 2ab ． 证法二：同证法 一，得到点 A 的坐标为 2bca，． Linsd68 整理 第 18 页，共 52 页 过点 O 作 1OB AF ，垂足为 B ，易知 1FBO△ ∽ 12FFA△ ，故 211BO F AOF F A ． 由椭圆定义得 122AF AF a，又113BO OF， 所以 2212132F A F AF A a F A ， 解得2 2aFA，而 22 bFA a，得 2 2baa ，即 2ab ． （ Ⅱ ）解法一：设点 D 的坐标为 00()xy， ． 当 0 0y 时，由 12OD  知，直线 12 的斜率为 00xy ，所以直线 12 的方程为0 000 ()xy x x yy   ，或 y kx m，其中 00xk y ， 2000xmyy ． 点 1 1 1 2 2 2( ) ( )Q x y Q x y， ， ，的坐标满足方程组2 2 222y kx mxyb ， ． 将 ① 式代入 ② 式，得 2 2 22( ) 2x k x m b  ， 整理得 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k m x m b    ， 于是12 2412kmxx k   ， 212 22212mbxx k ． 由 ① 式得 221 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )y y k x m k x m k x x k m x x k       2 2 2 2 222222 2 4 21 2 1 2 1 2m b k m m b kk k m mk k k        ． 由 12OQ OQ 知 1 2 1 2 0x x y y．将 ③ 式和 ④ 式代入得 2 2 2 223 2 2 012m b b kk ， 2 2 23 2 (1 )m b k． 将 2000xxk m yyy   ，代入上式，整理得 2 2 20023x y b． 当 0 0y 时，直线 12 的方程为 0xx ， 1 1 1 2 2 2( ) ( )Q x y Q x y， ， ，的坐标满足方程组A O 1F 2F B x y Linsd68 整理 第 19 页，共 52 页 02 2 222xxxyb  ， ． 所以 1 2 0x x x， 22012 2 2bxy ，． 由 12OQ OQ 知 1 2 1 2 0x x y y，即 222 00 2 02bxx ， 解得 220 23xb． 这时，点 D 的坐标仍满足 2 2 20023x y b． 综上，点 D 的轨迹方程为 2 2 223x y b ． 解法二：设点 D 的坐标为 00()xy， ，直线 OD 的方程为 000y x x y，由 12OD  ，垂足为 D ，可知直线 12 的方程为 220 0 0 0x x y y x y  ． 记 2200m x y（显然 0m ），点 1 1 1 2 2 2( ) ( )Q x y Q x y， ， ，的坐标。