20xx年普通高等学校招生全国统一考试数学全国ⅱ理含详解(编辑修改稿)

20xx年普通高等学校招生全国统一考试数学全国ⅱ理含详解(编辑修改稿)内容摘要：

1)ln(x＋ 1)－ ax， 于是不等式 f(x)≥ ax 成立即为 g(x)≥ g(0)成立． „„ 3 分 对函数 g(x)求导数： g′(x)＝ ln(x＋ 1)＋ 1－ a 令 g′(x)＝ 0，解得 x＝ ea－ 1－ 1， „„ 6 分 当 x＞ ea－ 1－ 1 时， g′(x)＞ 0， g(x)为增函数， 当－ 1＜ x＜ ea－ 1－ 1， g′(x)＜ 0， g(x)为减函数， „„ 9 分 所以要对所有 x≥ 0 都有 g(x)≥ g(0)充要条件为 ea－ 1－ 1≤ 0． 由此得 a≤ 1，即 a 的取值范围是（－ ∞， 1]． „„ 12 分 21．解： (Ⅰ )由已知条件，得 F(0， 1)， λ＞ 0． 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)．由 AF→ ＝ λFB→ ， 即得 (－ x1， 1－ y)＝ λ(x2， y2－ 1)， － x1＝ λx2 ①1－ y1＝ λ(y2－ 1) ② 将①式两边平方并把 y1＝ 14x12， y2＝ 14x22代入得 y1＝ λ2y2 ③ 解②、③式得 y1＝ λ， y2＝ 1λ，且有 x1x2＝－ λx22＝－ 4λy2＝－ 4， 抛物线方程为 y＝ 14x2，求导 得 y′＝ 12x． 所以过抛物线上 A、 B 两点的切线方程分别是 y＝ 12x1(x－ x1)＋ y1， y＝ 12x2(x－ x2)＋ y2， 即 y＝ 12x1x－ 14x12， y＝ 12x2x－ 14x22． 解出两条切线的交点 M 的坐标为 (x1＋ x22 ， x1x24 )＝ (x1＋ x22 ，－ 1)． „„ 4 分 所以 FM→ AB→ ＝ (x1＋ x22 ，－ 2)(x2－ x1， y2－ y1)＝ 12(x22－ x12)－ 2(14x22－ 14x12)＝ 0 所以 FM→ AB→ 为定值，其值为 0． „„ 7 分 (Ⅱ )由 (Ⅰ )知在△ ABM 中， FM⊥ AB，因而 S＝ 12|AB||FM|． |FM|＝ (x1＋ x22 )2＋ (－ 2)2＝ 14x12＋ 14x22＋ 12x1x2＋ 4 ＝ y1＋ y2＋ 12 (－ 4)＋ 4 ＝ λ＋ 1λ＋ 2＝ λ＋ 1λ． 因为 |AF|、 |BF|分别等于 A、 B 到抛物线准线 y＝－ 1 的距离，所以 |AB|＝ |AF|＋ |BF|＝ y1＋ y2＋ 2＝ λ＋ 1λ＋ 2＝ ( λ＋ 1λ)2． 于是 S＝ 12|AB||FM|＝ ( λ＋ 1λ)3， 由 λ＋ 1λ≥ 2 知 S≥ 4，且当 λ＝ 1 时， S 取得最小值 4． 22．解： (Ⅰ )当 n＝ 1 时 ， x2－ a1x－ a1＝ 0 有一根为 S1－ 1＝ a1－ 1， 于是 (a1－ 1)2－ a1(a1－ 1)－ a1＝ 0，解得 a1＝ 12． 当 n＝ 2 时， x2－ a2x－ a2＝ 0 有一根为 S2－ 1＝ a2－ 12， 于是 (a2－ 12)2－ a2(a2－ 12)－ a2＝ 0，解得 a1＝ 16． (Ⅱ )由题设 (Sn－ 1)2－ an(Sn－ 1)－ an＝ 0， 即 Sn2－ 2Sn＋ 1－ anSn＝ 0． 当 n≥ 2 时， an＝ Sn－ Sn－ 1，代入上式得 Sn－ 1Sn－ 2Sn＋ 1＝ 0 ① 由 (Ⅰ )知 S1＝ a1＝ 12， S2＝ a1＋ a2＝ 12＋ 16＝ 23． 由①可得 S3＝ 34． 由此猜想 Sn＝ nn＋ 1， n＝ 1， 2， 3，„． „„ 8 分 下面用数学归纳法证明这个结论． (i)n＝ 1 时已知结论成立． (ii)假设 n＝ k 时结论成立，即 Sk＝ kk＋ 1， 当 n＝ k＋ 1 时，由①得 Sk＋ 1＝ 12－ Sk， 即 Sk＋ 1＝ k＋ 1k＋ 2， 故 n＝ k＋ 1 时结论也成立． 综上，由 (i)、 (ii)可知 Sn＝ nn＋ 1对所有正整数 n 都成立． „„ 10 分 于是当 n≥ 2 时， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ nn＋ 1－ n－ 1n ＝ 1n(n＋ 1)， 又 n＝ 1 时， a1＝ 12＝ 11 2，所以 ｛ an｝的通项公式 an＝ nn＋ 1， n＝ 1， 2， 3，„． „„ 12 分 2020 高考数学试题全国 II 卷 理科试题 本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第ＩＩ卷（非选择题）两部分。 第Ｉ卷１至２页。 第ＩＩ卷３至４页。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ｉ卷 注意事项 ： １．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好条形码。 请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 ２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题 卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 ３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式 如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么 ( . ) ( ). ( )P A B P A P B 如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么 球的表面积公式 24SR 其中Ｒ表示球的半径 球的体积公式 343VR 其中Ｒ表示球的半径 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率是 ( ) (1 )k k n knnP k C P P  一．选择题 （ 1）已知集合  2{ | 3 } , | l o g 1M x x N x x   ，则 MN (D) （ A）  （ B）  | 0 3xx （ C）  |1 3xx （ D）  | 2 3xx 解析 :    2lo g 1 2N x x x x   ,用数轴表示可得答案 D 考察知识点有对数函数的单调性 ,集合的交集 本题比较容易 . （ 2）函数 sin 2 cos 2y x x 的最小正周期是 (D) （ A） 2 （ B） 4 （ C） 4 （ D） 2 解析 : 1s in 2 c o s 2 s in 42y x x x所以最小正周期为 242T ,故选 D 考察知识点有二倍角公式 ,最小正周期公式 本题比较容易 . （ 3）23(1 )i (A) （ A） 32i （ B） 32i （ C） i （ D） i 解析 :223 3 3 3 3(1 ) 2 2 2 2ii ii i i      故选 A 本题考察的知识点复数的运算 ,(乘法和除法 ),比较简单 （ 4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(A) （ A） 316 （ B） 916 （ C） 38 （ D） 932 解析 :设球的半径为 R, 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面 ,由勾股定理可得一个半径为 32R 的 圆 ,所以 21223() 324 1 6RSSR ,故选 A 本题主要考察截面的形状和球的表面积公式 ,难度中等 （ 5）已知 ABC 的顶点 B、 C在椭圆 2 2 13x y上，顶点 A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则 ABC 的周长是 ( C) （ A） 23 （ B） 6 （ C） 43 （ D） 12 解析 (数形结合 )由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a,可得 ABC 的周长为 4a=43,所以选 C 本题主要考察数形结合的思想。