20xx年新东方数学基础班讲义-高数2(编辑修改稿)

20xx年新东方数学基础班讲义-高数2(编辑修改稿)内容摘要：

21 CCxCCxCdxxC xy   （ 2）令 py ，则 py  ，原方程化为    1ln1  xppx  11ln11  xxpxp 属于一阶线性方程      111111 1ln Cdxex xep dxxdxx      111ln1ln11 11   xCxCdxxx     21 111ln CdxxCxy     21 21ln CxxCx  例 2．求下列微分方程的通解 （ 1）   012  yyy 新东方在线 [ /] 网络课堂电子教材系列 考研数学基础高等数学 2 （ 2）   12 2  yyy 二．常系数齐次线性微分方程 例 1．求下列微分方程的通解。 （ 1） 067  yyy （ 2） 096  yyy （ 3） 0136  yyy （ 4） 0244  yyyy 解：（ 1）特征方程 0672   ，即    061   特征根 11 ， 62 微分方程通解 xx eCeCy 621  （ 2）特征方程 0962   ，即   03 2  特征根 3 二重根 微分方程通解   xexCCy 321  （ 3）特征方程 01362   特征根  23 微分方程通解  xCxCey x 2s in2co s 213  （ 4） 特征方程 024 4 23   即     021 2   特征根 11 二重根， 22 微分方程通解   xx eCexCCy 2321  例 2．设方程 043  yyy ，求满足 00xy， 50xy的特解。 新东方在线 [ /] 网络课堂电子教材系列 考研数学基础高等数学 2 三．二阶常系数非齐次线性微分方程 例 1．求微分方程   xexyyy 132  的一个特解。 解：这是二阶线性常系数非齐次方程，其自由项呈  xm exP  的形状，其中  1 xxPm  1m ， 1。 而该微分方程的特征方程是： 0322   特征根是 11  ， 32。 由于 1 不是特征根，故设特解为   xebxby 01  为了确定 1b 和 0b ，把 y 代入原方程，经化简，可得 144 01  xbxb 令此式两端同次幂系数相等，有   14 1401bb 由此解得 411 b， 410 b，因此特解为   xexy 141  例 2．求微分方程 xxeyyy 265  的通解。 答案：最后得原方程通解为 yYy    xxx exxecec 223221 221  新东方在线 [ /] 网络课堂电子教材系列 考研数学基础高等数学 2 例 3．求 xeyyy 244  的 通解。 答案：因此原方程的通解为 xxx exxececy 222221 2 例 4．求方程 1223 2  xxyyy 的通解。 答案：原方程的通解为 413252221   xxeCeCy xx 例 5．求 xeyyy 232  的通解。 答案：原方程的通解为 xxx xeeCeCy 21231   例 6．求方程 xyyy 2c os22  的通解。 答案： 原方程的通解为 xxeCeCy xx 2s in1012c o s103221   例 7．求微分方程 xyy sin 的通解。 答案：原方程的通解为 ：  xxeCCy x s inc o s2121 。 新东方在线 [ /] 网络课堂电子教材系列 考研数学基础高等数学 2 第五章 向量代数与空间解析几何（数学一） 167。 5． 1 向量代数 甲 内容要点 一．空间直角坐标系 从空间某定点 O 作三条互相垂直的数轴，都以 O 为原点，有相同的长度单位，分别称为 x 轴， y 轴， z 轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称 O 为坐标原点。 1．两点间距离 设点  1111 , zyxM ，  2222 , zyxM 为空间两点，则这两点间的距离可以表示为       21221221221 zzyyxxMMd  2．中点公式 设  zyxM , 为  1111 , zyxM ，  2222 , zyxM 联线的中点，则 新东方在线 [ /] 网络课堂电子教材系列 考研数学基础高等数学 2 2,2,2 212121 zzzyyyxxx  二．向量的概念 1．向量 既有大小又有方向的量称为向量。 方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点 A 到另一点 B 的顺序关系，而两点间又有一个距离。 常用有向线段 AB 表示向量。 A 点叫起点，B 点叫终点，向量 AB 的长度叫做模，记为 AB。 模为 1的向量称为单位向量。 2．向量的坐标表示 若将向量的始点放在坐标原点 O ，记其终点 M ，且点 M 在给定坐标系中的坐标为 zyx ,。 记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为 kji , ，则向量 OM 可以表示为 zkyjxiOM  称之为向量 OM 的坐标表达式，也可以表示为  zyxOM , 称 zkyjxi , 分别为向量 OM 在 x 轴， y 轴， z 轴上的分量。 称 zyx , 分别为向量 OM在 x 轴， y 轴， z 轴上的投影。 记 OM 与 x 轴、 y 轴、 z 轴正向的夹角分别为  , ，则 222c o s zyxx  222c o s zyxy  新东方在线 [ /] 网络课堂电子教材系列 考研数学基础高等数学 2 222c o s zyxz  方向余弦间满足关系 1c o sc o s 222   co x  , 描述了向量 OM 的方向，常称它们为向量的方向角。 OM 的模可以表示为 222 zyxOM  与向量  zyxOM , 同方向的单位向量可以表示为 OMOM1。 与向量 OM 平行的单位向量可以表示为 OMOM1。 向量 a 同方向上的单位向量常记为 a。 三．向量的运算  321321 , aaakajaiaa   321321 , bbbkbjbibb   321321 , ccckcjcicc  1．加法。  332211 , babababa  减法。  332211 , babababa  新东方在线 [ /] 网络课堂电子教材系列 考研数学基础高等数学 2 2．数乘。  321 , aaa   （  是常数） 向量的加、减和数乘运算统称线性运算。 3．数量积。   bababa ,c os 332211 bababa  其中 ba,为向量 ba, 间夹角 ba 为数量也称点乘。 0ba 表示向量 a 在向量 b 上的投影，即 ajba bPr0  4．向量积 ba 也称为叉乘。   bababa ,s in ba 的方向按右手法则垂直于 ba, 所在平面，且 321321bbbaaakjiba  ba 是向量， abba 。 ba 等于以 ba, 为邻边的平行四边形的面积。 5．混合积：定义     cbacba , ，坐标公式  321321321,cccbbbaaacba  几何意义  cba , 表 示以 cba, 为棱的平行大面体的体积。 四．两向量间的关系 新东方在线 [ /] 网络课堂电子教材系列 考研数学基础高等数学 2 设    321321 ,, bbbbaaaa  关系 向量表示 向量坐标表示 ba, 间夹角  ba bacos 232221232221 332211c o s bbbaaa bababa   a 与 b 垂直 0ba 0332211  bbbaba a 与 b 平行 0ba 332211 bababa  乙 典型例题 例．设 ba, 为两个非零向量，  为非零常数，若向量 ba  垂直于向量 b ，则  等于（ ）。 （ A）2bba （ B）2bba （ C） 1 （ D） ba 分析：所给向量为抽象向量，宜用向量运算公式。 如果 ba  垂直于向量 b ，因此 应有   0  bba  即 0  bbba  0 2  bba  由于 b 为非零向量，因而应有2bba，故应选（ B）。 新东方在线 [ /] 网络课堂电子教材系列 考研数学基础高等数学 2 167。 5． 2 平面与直线 甲 内容要点 一．空间解析几何 1．空间解析几何研究的基本问题 （ 1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲 面（线）的方程。 （ 2）已知坐标 yx, 和 z 间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。 2．距离公式 空间两点  111 , zyxA 与  222 , zyxB 间的距离 d 为       212212212 zzyyxxd  3．定比分点公式  zyxM , 是 AB 的分点： MBAM ，点 BA, 的坐标为  111 , zyxA ， 222 , zyxB 则   1 ,1 ,1 212121 zzzyyyxxx 当 M 为中点时， 2,2,2 212121 zzzyyyxxx  二．平面及其方程 1．法（线）向量，法（线）方向数。 与平面  垂直的非零向量，称为平面  的法。