20xx年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析(编辑修改稿)

20xx年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析(编辑修改稿)内容摘要：

， 01x，求 fx的极值、单调区间和凹凸区间 . 解： 11 2200( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxf x t x t dt t t x dt t x t dt t t x dt           2 3 3 2 3 3 3 31 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )02 3 3 2 2 3 3 2 3 2xt t t t x x x x xxx x          3316 3 2 6x x x    3 13 2 3xx   . 2 1() 2f x x  ,令 ( ) 0fx  ，得 2 2 1()2 6 3f    22x . ( ) 0fx  ，得 22xx  或 ( ) 0fx  ，得 22x   因此， ()fx的单调增区间是 22( , ), ( , )  ；单调减区间是 22( , )22 . 由 ( ) 2f x x  ，可知 ( ,0) 为凸区间， (0, ) 为凹区间 . 由 22( ) 0 , ( ) 0 ,ff    知 2 2 1()2 6 3f   为极大值 . 由 22( ) 0 , ( ) 0 ,ff 知 2 2 1()2 6 3f   为极小值 . (17)（本题满分 10 分） 求函数 2 2 2u x y z   在在约束条件 22z x y和 4x y z   下的最大和最小值 . 解：设 2 2 2 2 212( , , ) ( ) ( 4 )F x y z x y z x y z x y z          得方程组 22( , , ) 0( , , ) 0( , , ) 0040xyzF x y zF x y zF x y zx y zx y z        即121212222 2 02 2 020040xxyyzx y zx y z               第 6 页 共 11 页 解得 228xyz 或 112xyz 得 2 2 2m a x ( 2 ) ( 2 ) 8 7 2U      ， 2 2 2m in 1 1 2 6U     (18)（本题满分 10 分） 设  ,z z x y 是由方程  22x y z x y z    所确定的函数，其中  具有 2 阶导数且 1 时， 求 (1)dz （ 2）记   1, zzu x yx y x y  ，求 ux . 解： (1)    22x d x y d y d z x y z d x d y d z        ,      1 2 2d z x d x y d y              221x d x y d ydz       1 (2)  1, ( )1 2 2()111 2 2 211zzu x yx y x yxyxyyxxy                      2 2 3 322 ( 1 )2 ( 1 )2 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 )11 1 1 1xzu x xxx                             (19)（本题满分 10 分） fx是周期为 2 的连续函数， （ 1）证明对任意实数都有    220tt f x dx f x dx  第 7 页 共 11 页 （ 2）证明      20 2xttg x f t f s d s d t。