20xxxdf线代强化讲义(编辑修改稿)

20xxxdf线代强化讲义(编辑修改稿)内容摘要：

.并且有行列式性质 : |AB|=|A||B|. 如果 AB=BA,则说 A 和 B可交换 . 方幂 设 k是正整数 , n阶矩阵 A 的 k次方幂 A k即 k个 A 的连乘积 .规定 A 0=E . 显然 A 的任何两个方幂都是可交换的 ,并且方幂运算符合指数法则 : ① A kA h= A k+h. ② (A k)h= A kh. 但是一般地 (AB)k和 A kB k不一定相等 ! n阶矩阵的多项式 设 f(x)=amxm+am1xm1+„ +a1x+a0,对 n阶矩阵 A规定 f(A)=amA m+am1A m1+„ + a1A +a0E. 称为 A 的一个多项式 .请特别注意 在常数项上 加单位矩阵 E. 12 乘法公式 一般地 ,由于交换性的障碍 ,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于 n阶矩阵的不再成立 .但是如果公式中所出现的 n阶矩阵互相都是乘法交换的 ,则乘法公式成立 .例如 当 A 和 B 可交换时 ,有 : (AB)2=A22AB+B2。 A2B2=(A+B)(AB)=(A+B)(AB). 二项展开式成立 : BACBA  1)(等等 . 前面两式成立还是 A 和 B 可交换的充分必要条件 . 同一个 n阶矩阵的两个多项式总是可交换的 . 一个 n阶矩阵的多项式可以因式分解 . 3. 分块 法则 矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法 .对两个可以相乘的矩阵 A和 B,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵 (一切 A 的纵向切割和 B 的横向切割一致 !),再用它们来作乘法 . (1)两种常见的矩阵乘法的分块法则 A11 A12 B11 B12 = A11B11+A12B21 A11B12+A12B22 A21 A22 B21 B22 A21B11+A22B21 A21B12+A22B22 要求 Aij的列数 Bjk和的行数相等 . 准对角矩阵的乘法 : 形如 A1 0 „ 0 A= 0 A2 „ 0 „ „ „ 0 0 „ An 的矩阵称为准对角矩阵 ,其中 A1,A2,„ ,Ak都是方阵 . 两个准对角矩阵 A1 0 „ 0 B1 0 „ 0 A= 0 A2 „ 0 , B= 0 B2 „ 0 „ „ „ „ „ „ 0 0 „ Ak 0 0 „ Bk 如果类型相同 ,即 Ai和 Bi阶数相等 ,则 A1B1 0 „ 0 AB = 0 A2B2 „ 0 . „ „ „ 0 0 „ AkBk (2)乘积矩阵的列向量组和行向量组 设 A是 mn矩阵 B是 ns矩阵 . A的列向量组为 1,2,„ ,n,B的列向量组为 1,2,„ ,s, AB的列向量组为 1,2,„ ,s,则根据矩阵乘法的定义容易看出 (也是分块法则的特殊情形 ): ① AB的每个列向量为 :i=Ai,i=1,2,„ ,s. 13 即 A(1,2,„ ,s)= (A1,A2,„ ,As). ② =(b1,b2,„ ,bn)T,则 A= b11+b22+„ +bnn. 应用这两个性质可以得到 :如果 i=(b1i,b2i,„ ,bni)T,则 i=AI=b1i1+b2i2+„ +bnin. 即 :乘积矩阵 AB的第 i个列向量 i是 A的列向量组 1,2,„ ,n的线性组合 ,组合系数就是 B 的第 i个列向量 i的各分量 . 类似地 , 乘积矩阵 AB 的第 i个行向量是 B 的行向量组的线性组合 ,组合系数就是 A 的第 i个行向量的各分量 . 以上规律在一般教材都没有强调 ,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出 .它们无论在理论上和计算中都是很有用的 . (1) 当两个矩阵中 ,有一个的数字很简单时 ,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量 ,从而提高了计算的速度 . (2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论 : 用对角矩阵 从左侧乘一个矩阵 ,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此 矩阵的各行向量。 用对角矩阵 从右侧乘一个矩阵 ,相当于用 的对角 线上的各元素依次乘此 矩阵的各列向量 . 数量矩阵 kE 乘一个矩阵相当于用 k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵 . 两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘 . 求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂 . (3) 矩阵分解 :当一个矩阵 C 的每个列向量都是另一个 A 的列向量组的线性组合时 ,可以构造一个矩阵 B,使得 C=AB. 例如设 A=(,,), C=(+2,3+,+2),令 1 3 1 B= 2 1 0 ,则 C=AB. 1 1 2 (4) 初等矩阵及其在乘法中的作用 对单位矩阵 E 作 一次 初等 (行或列 )变换 ,所得到的矩阵称为 初等矩阵 . 有三类初等矩阵 : E(i,j):交换 E 的 i,j两行 (或列 )所得到的矩阵 . E(i(c)):用非 0 数 c 乘 E 的第 i行 (或列 )所得到的矩阵 .也就是把 E 的对角线上的第 i个元素改为 c. E(i,j(c))(ij):把 E 的第 j行的 c倍加到第 i行上 (或把第 i列的 c倍加到第 j列上 )所得到的矩阵 , 也就是把 E 的 (i,j)位的元素改为 c. 命题 对矩阵作一次初等行 (列 )变换相当于用一个相应的初等矩阵从左 (右 )乘它 . 4. 矩阵方程和可逆矩阵 (伴随矩阵 ) (1) 矩阵方程 矩阵不能规定除法 ,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的 矩阵方程 : (I) AX=B. (II) XA=B. 14 这里假定 A 是行列式不为 0 的 n 阶矩阵 ,在此条件下 ,这两个方程的解都是存在并且唯一的 .(否则解的情况比较复杂 .) 当 B 只有一列时 ,(I)就是一个线性方程 组 .由克莱姆法则知它有唯一解 .如果 B 有 s列 ,设 B=(1,2,„ ,s),则 X 也应该有 s 列 ,记 X=(X1,X2,„ ,Xs),则有 AXi=i,i=1,2,„ ,s,这是s个线性方程组 .由克莱姆法则 ,它们都有唯一解 ,从而 AX=B 有唯一解 . 这些方程组系数矩阵都是 A,可同时求解 ,即得 (I)的解法 : 将 A 和 B 并列作矩阵 (A|B),对它作初等行变换 ,使得 A变为单位矩阵 ,此时 B变为解 X. (A|B)(E|X) (II)的解法 :对两边转 置化为 (I)的形式 :ATXT= (I)的方法求出 XT,转置得 X.. (AT|BT)(E|XT) 矩阵方程是历年考题中常见的题型 ,但是考试真题往往并不直接写成 (I)或 (II)的形式 ,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解 . (2) 可逆矩阵的定义与意义 定义 设 A 是 n阶矩阵 ,如果存在 n阶矩阵 B,使得 AB=E, BA=E,则称 A为可逆矩阵 . 此时 B 是唯一的 ,称为 A的逆矩阵 ,通常记作 A1. 如果 A 可逆 ,则 A在乘法中有消去律 : AB=0B=0； AB=ACB=C.(左消去律 )； BA=0B=0； BA=CAB=C. (右消去律 ) 如果 A 可逆 ,则 A在乘法中可移动 (化为逆矩阵移到等号另一边 ): AB=CB=A1C. BA=CB=CA1. 由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法 : (I) AX=B 的解 X=A1B . (II) XA=B 的解 X= BA1. 这种解法 想法自然，好记忆 ,但是计算量比初等变换法大 (多了一次矩阵乘积运算 ). (3) 矩阵可逆性的判别与性质 定理 n阶矩阵 A 可逆 |A|0. 证明 “ ”对 AA1=E两边取行列式 ,得 |A||A1|=1,从而 |A|0. (并且 |A1|=|A|1.) “ ”因为 |A|0,矩阵方程 AX=E和 XA=E 都有唯一解 .设 B,C分别是它们的解 ,即 AB=E, CA=E. 事实上 B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到 A 可逆 . 推论 如果 A 和 B 都是 n阶矩阵 ,则 AB=EBA=E. 于是只要 AB=E(或 BA=E)一式成立 ,则 A和 B都可逆并且互为逆矩阵 . 可逆矩阵有以下性质 : ① 如果 A 可逆 ,则 A1也可逆 ,并且 (A1)1=A. AT也可逆 ,并且 (AT)1=(A1)T. 当 c0时 , cA 也可逆 ,并且 (cA)1=c1A1. 对任何正整数 k, Ak也可逆 ,并且 (Ak)1=(A1)k. (规定可逆矩阵 A的负整数次方幂 Ak=(Ak)1=(A1)k.) 15 ② 如果 A 和 B 都可逆 ,则 AB 也可逆 ,并且 (AB)1=B1A1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形 .) 初等矩阵都是可逆矩阵 ,并且 E(i,j)1= E(i,j), E(i(c))1=E(i(c1)), E(i,j(c))1= E(i,j(c)). (4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵 ① 计算逆矩阵的初等变换法 当 A 可逆时 , A1是矩阵方程 AX=E的解 ,于是可用初等行变换求 A1: (A|E)(E|A1) 这个方法称为求逆矩阵的 初等变换法 .它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多 . ② 伴随矩 阵 若 A 是 n阶矩阵 ,记 Aij是 |A|的 (i,j)位元素的代数余子式 ,规定 A的 伴随矩阵 为 A11 A21 „ An1 A*= A12 A22 „ An2 =(Aij)T. „ „ „ A1n A2n „ Amn 请注意 ,规定 n阶矩阵 A 的伴随矩阵并没有要求 A 可逆 ,但是在 A 可逆时 , A*和 A1有密切关系 . 基本公式 : AA*=A*A=|A|E. 于是对于可逆矩阵 A,有 A1=A*/|A|, 即 A*=|A|A1. 因此可通过求 A*来计算 . 和初等变换法比较 , 伴随矩阵法的计算量要大得多 ,除非 n=2,一般不用它来求逆矩阵 .对于 2阶矩阵 a b * d b c d = c a , 因此当 adbc0时 , a b 1 d b c d = c a (adbc) . 伴随矩阵的其它性质 : ① 如果 A 是可逆矩阵，则 A*也可逆，并且 (A*)1= A/|A|=(A1)*. ② |A*|=|A|n1. ③ (AT)*=(A*)T. ④ (cA)*=1A*. ⑤ (AB)*=B*A*； (Ak)*=(A*)k. ⑥ 当 n2时 ,(A*)*=|A|n2A； n=2时 ,(A*)*=A. 二 典型例题 例 1 =(1,2,3) T, =(1,1/2,1/3)T, A= T,求 A6. 讨论 :(1)一般地 ,如果 n阶矩阵 A= T,则 Ak=(T)k1A=(trA)k1A . (2)乘法结合律的应用 :遇到形如 T的地方可把它当作数处理 . ① 1 1 1 16 T= 1 1 1 ，求 T.（ 2020一）  ② 设 =(1,0,1)T, A=T,求 |aEAn|. ③ n维向量 =(a,0, ,0,a)T, a0, A=ET, A1=E+a1 T,求 a. (03三 ,四 ) ④ n维向量 =(1/2,0, ,0,1/2)T, A=E T, B=E+2 T,求 AB. (95四 ) ⑤ A=E T,其中 , 都是 n维非零列向量 ,已知 A2=3E2A,求 T. 例 2(1999三 ) 1 0 1 设 A = 0 2 0 ，求 An2An1.(n1)  例 3 1 0 0 设 A = 1 0 1 ， (1)证明当 n1时 An=An2+A2E. (2) 求 An. 。