2005高等数学研究生考试试题及答案(编辑修改稿)

2005高等数学研究生考试试题及答案(编辑修改稿)内容摘要：

用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可 . 【 详解 】 由题设，存在初等矩阵 12E （交换 n 阶单位矩阵的第 1 行与第 2 行所得），使得 BAE 12 ，于是 12*11212*12***12* )( EAEEAEAAEB  ，即 *12* BEA  ,可见应选 (C). 【 评注 】 注意伴随矩阵的运算性质： EAAAAA  ** ，当 A可逆时， ,1*  AAA ***)( ABAB  . 完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类） P. 381【例 ，例 】 （ 13） 设二维随机变量 (X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 a 1 b 已知随机事件 }0{ X 与 }1{ YX 相互独立，则 (A) a=, b= (B) a=, b= 文登学校 8 (C) a=, b= (D) a=, b= [ B ] 【 分析 】 首先所有概率求和为 1，可得 a+b=, 其次，利 用事件的独立性又可得一等式，由此可确定 a,b 的取值 . 【 详解 】 由题设，知 a+b= 又事件 }0{ X 与 }1{ YX 相互独立，于是有 }1{}0{}1,0{  YXPXPYXXP ， 即 a= ))(( baa  , 由此可解得 a=, b=, 故应选 (B). 【 评注 】 本题考查二维随机变量分布律的性质和独立随机事件的概念，均为大纲要求的基本内容 . 完全类似例题见《 数学复习指南》（理工类） P. 528【习题二， 1.（ 9）】 （ 14） 设 )2(, 21 nXXX n 为来自总体 N(0,1)的简单随机样本， X 为样本均值， 2S为样本方差，则 (A) )1,0(~NXn (B) ).(~ 22 nnS  (C) )1(~)1(  ntS Xn (D) ).1,1(~)1(2221  nFXXnni i [ D ] 【 分析 】 利用正态总体抽样分布的性质和 2 分布、 t 分布及 F分布的定义进行讨论即可 . 【 详解 】 由正态总体抽样分布的性质知， )1,0(~1 0 NXnnX ，可排除 (A)。 又 )1(~0  ntSXnnSX ，可排除 (C)。 而 )1(~)1(1 )1( 222 2  nSnSn ，不能断定 (B)是正确选项 . 因为  ni i nXX 222221 )1(~),1(~  ，且  ni i nXX 222221 )1(~)1(~  与 相互独立，于是 ).1,1(~)1(1122212221nFXXnnXXniinii 故应选 (D). 【 评注 】 正态总体 ),(~ 2NX 的三个抽样分布： )1,0(~ NnX  、文登学校 9 )1(~  ntnSX  、 )1(~)1( 22 2  nSn  是常考知识点，应当牢记 . 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类） P. 575【习题五， 2.(3)】 三 、解答题（本题共 9小题，满分 94分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） （ 15）（ 本题满分 11 分） 设 }0,0,2),{( 22  yxyxyxD ， ]1[ 22 yx  表示不超过 221 yx  的最大整数 . 计算二重积分  D dx dyyxxy .]1[22 【 分析 】 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可 . 【 详解 】 令 }0,0,10),{( 221  yxyxyxD ， }0,0,21),{( 222  yxyxyxD . 则  D dx d yyxxy ]1[22= 1 22D D x y d x d yx y d x d y drrddrrd    2021 310 320 c oss i n2c oss i n  = .874381  【 评注 】 对于二重积分（或三重积分）的计算问题，当被积函数为分段函数时应利用积分的可加性分区域积分 . 而实际考题中，被积函数经常为隐含的分段函数，如取绝对值函数 ),( yxf 、取极值函数 )},(,(m ax{ yxgyxf 以及取整函数 ],([ yxf 等等 . 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类） P. 295【例 ~19】 （ 16）（本题满分 12分） 求幂级数  121 ))12( 11()1(nnn xnn的收敛区间与和函数 f(x). 【 分析 】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间 . 而和函数可利用逐项求导得到 . 【 详解 】 因为 ( 1 ) ( 2 1 ) 1 ( 2 1 )l i m 1( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) 1n n n n nn n n n        ，所以当 2 1x 时，原级数绝对收敛，当 2 1x 时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为 1，收敛区间为（－ 1,1） 记 1 21( 1 )( ) , ( 1 , 1 )2 ( 2 1 )n nnS x x xnn   ， 则 1 211( 1 )( ) , ( 1 , 1 )21n nnS x x xn     ， 文登学校 10 1 2 2 211( ) ( 1 ) , ( 1 ,1 )1nnnS x x xx       . 由于 (0 ) 0 , (0 ) 0 ,SS 所以 200 1( ) ( ) a r c ta n ,1xxS x S t d t d t xt    200 1( ) ( ) a r c ta n a r c ta n l n ( 1 ) .2xxS x S t d t td t x x x     又 21221 ( 1 ) , ( 1 , 1 ) ,1nnn xxxx      从而 22( ) 2 ( ) 1 xf x S x x 2222 a r c t a n l n( 1 ) , ( 1 , 1 ) .1 xx x x xx      【 评注 】 本题求收敛区间是基本题型，应注意收敛区间一般只开区间 . 而幂级数求和尽量将其转化为形如 1nnnx 或 11nnnx 幂级数，再通过逐项求导或逐项积分求出其和函数 . 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类） P. 225【例 】 （ 17）（本题满分 11 分） 如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点 (3,2)是它的一 个拐点，直线 1l 与 2l 分别是曲线 C 在点 (0,0)与 (3,2)处的切线，其交点为 (2,4)。