1－8届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答bw(编辑修改稿)

1－8届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答bw(编辑修改稿)内容摘要：

形屏的半径为 x，则入射到凹面镜的光束半径为 3 22 xRh 如果我们用半径 kx 的屏代替半径为 x 的屏，则入射光束的半径为： 3 22 kxRhk  入射光的量正比于 2kh ，因此 3 22222 )2( khkxRh k  本题情形是 81k ，由此得出，落在圆形屏幕上光的量将是前者的 41 【实验题】桌上有三个装在支架上的透镜，一块有几何图形的屏，一支杆和一把卷尺。 仅用所给的 工具，以不同的方法测定透镜的焦距。 解答：有几种可能的方法。 在凸透镜情形，我们用目视观查虚像的消失，并测定透镜的距离。 我们注视着实像，借助于视差把杆放在实像的位置上，测量物距和像距，从而计算出焦距。 再看凹透镜情形。 我们把凹透镜与一个强会聚的凸透镜密接在一起，并用上述方法之一测量系统的焦距，然后算出凹透的焦距。 1,3,5 博微物理 16 历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答 第 5 届 （ 1971 年于保加利亚的索菲亚） 【题 1】质量为 m1和 m2的物体挂在绳子的两端，绳子跨过双斜面顶部的滑轮，如图。 斜面质量 为 m，与水平面的夹角为 1 和 2。 整个系统初态静止。 求放开后斜面的加速度和物体的加速度。 斜面保持静止的条件是什么。 摩擦可以忽略。 解：我们用 a 表示双斜面在惯性参照系中的加速度（正号表示向右的方向）。 用 a0 表示物体相对斜面的加速度（正号表示左边物体 m下降）两个物体在惯性系中的加速度 a1和 a2可由矢量 a 和 a0相加得到（如解 图 图 ）。 用 F 表示绳子中的张力。 对沿斜面 方向的分量应用牛顿第二定律。 使物体m1加速下降的力是 m1gsin 1－ F 在惯性系中，沿斜面方向的加速度分量为 a0－ acos 1 所以，对此斜面分量，牛顿第二定律为： 解图 m1（ a0－ acos 1）＝ m1gsin 1－ F 同样，对于 m2有 m2（ a0－ acos 2）＝ F－ m2gsin 2 两式相加：（ m1cos 1＋ m2cos 2） a＝（ m1＋ m2） a0－（ m1sin 1－ m2sin 2） g （ 1） 我们用动量守恒原理来研究斜 面的运动。 斜面在惯性系中的速度为 v（向右）。 物体相对斜面的速度为 v0。 故斜面上两物体在惯性系中的速度的水平分量（向左）分别为： v0 cos 1－ v 和 v0 cos 2－ v 利用动量守恒原理： m1（ v0 cos 1－ v）＋ m2（ v0 cos 2－ v）＝ m v 对匀加速运动，速度与加速度成正比，因此有： m1（ a0 cos 1－ a）＋ m2（ a0 cos 2－ a）＝ m a 所以021 2211 c o sc o s ammm mma    （ 2） m 2m 1m   m 2m 1 m   a 2aaa 1a 0a 0a1,3,5 博微物理 17 上式给出了有关加速度的信息。 很明显，只有当两物体 都静止，即两个物体平衡时，斜面才静止，这是动量守恒原理的自然结果。 由方程（ 1）和（ 2），可得到加速度为： gmmmmmmm mmmmma 222112121 221121 )c o sc o s())(( )s i ns i n)((    ０ gmmmmmmm mmmma 222112121 22112211 )c o sc o s())(( )s i ns i n)(c o sc o s(     如果 m1sin 1＝ m2sin 2 即 1221 sinsinmm 则两个加速度均为零。 【题 2】在一个带活塞的圆筒内装配着著名的托里拆利装置。 在水银柱上方有氢气，在圆筒内有空气。 第一步，水银柱高度 h1＝ 70cm，空气压强 pk1＝ ＝ ＝ 100cmHg，温度为 00C＝273K。 第二步，向上提升活塞，直至水银柱高度降为 h2＝ 40cm，这时空气压强为 pk2＝ ＝80kPa＝ 60cmHg。 第三步，保持体积不变，提高温度到 T3，此时水银柱的高度为 h3＝ 50cm。 最后，第四步，温度为 T4，水银柱的高度为 h4＝ 45cm，空气压强没有改变。 求出最后一步中氢气的温度和压强。 解：我们将空气和氢气的数据列成表。 两者温度是相同的。 玻璃管的长度用 L 表示。 为了简单起见，我们以装有氢气的管子长度的厘米数来度量氢气的体积。 压强全部用 cmHg 为单位给出（见解图 第一步至第四步）。 L70 c m 40 c m 50 c m 45 c m 次 数 1 2 3 4 博微物理 18 氢气压强 ph1 ph2 ph3 ph4 氢气体积 V h1 V h2 V h3 V h4 空气压强 100cmHg 60cmHg pk3 ＝ pk4 空气体积 V k1 V k2 ＝ V k3 V k4 两者温度 273K 273K T3 T4 解图 从第一步到第二步，对氢气应用玻意耳定律：（ L－ 70）（ 100－ 70）＝（ L－ 40）（ 60－ 40） 由此式求得玻璃管的长度 L＝ 130cm， 因此，氢气在第一步至第四步中体积分别为： V h1＝ 60cm， V h2＝ 90cm， V h3＝ 80cm， V h4＝ 85cm 从第二步到第三步，氢气的状态方程为：33 80)50(273 90)4060( Tp h  对空气应用盖吕萨 克定律：2736033 Tpk 从第三步到第四步，我们只有向上提升活塞，以便使空气压强保持不变。 氢气的状态方程为：4433 85)45(80)50( TpTp kk  解以上方程组，得： pk3＝ pk4＝ 80cmHg， T3＝ 364K， T4＝ 451K， 所以氢气的压强为： ph3＝ 30cmHg ph4＝ 35cmHg 算出空气的体积比为： V k1:V k2:V k4＝ 6:10: （注： cmHg为实用单位，应转换成国际单位 Pa） 【题 3】四个等值电阻 R、四个 C＝ 的电 容器以及四个电池分别在立方体的各边连接起来，如图 所示。 各电池的电压为 U1＝ 4V， U2＝ 8V， U3＝ 12V， U4＝ 16V，它们的内电阻均可忽略。 （ a）求每个电容器的 电 压 和 电 量 ，（ b）若 H点与 B 点短路，求电容器 C2上的电量。 解：（ a）将这个网络展开成平面图（如解图 ）。 由 于 电 流 不 能通 过 电 容 器 ，所 以 只 在 图 图 解图 中 ABCGHEA回路的导线中有电流。 在这个回路中，电压为 12V，电阻为 4R。 ABCDEFGHC 2U 2C 3U 3C 1U 1C 4U 4RRRR+_+_+_+_RR C 4C 3U 2+_U 3+_RRC 1C 2U 1+_U 4+_ABCDEFGH博微物理 19 因此电流为： RUUI 4 14  于是就知道了电阻和电源两端的电压。 设 A 点的电势为零，就能很容易地算出各点的电势。 A 0 V B (U4－ U1)/4 3 V C (U4－ U1)/2 6 V G (U4－ U1)/2＋ U1 10 V H (U4－ U1)/2＋ U1＋ (U4－ U1)/4 13 V E (U4－ U1)/2＋ U1＋ (U4－ U1)/2 16 V D (U4－ U1)/2＋ U1＋ (U4－ U1)/4－ U3 1 V F (U4－ U1)/4－ U3＋ U2 11 V 从每个电容器两端的电势差，可以算出其电量如下： C1 （ 11－ 10） V＝ 1V， 1106C。 C2 （ 16－ 11） V＝ 5V， 5106C。 C3 （ 6－ 1） V＝ 5V， 5106C。 C4 （ 1－ 0） V＝ 1V， 1106C。 我们可以算出各电容器的储能量 CU 2/2。 电容器 C1 和 C4 各有106 J，电容器 C2和 C3各有 106 J。 （ b） H 点与 B 点连接，我们得到两个分电路。 如解图。 在下方的分电路中，电流为 RU24 ， E 点相对 A 点的电势是 U4＝ 16 V， H 点与B 点的电势是 U4／ 2＝ 8 V。 F 点的电势为242 UU ＝ 16 V 于是，电容器 C2两 极板的电势均为 16 V，结果 C2上无电量。 解图 【题 4】在直立的平面镜前放置一个半径为 R 的球形玻璃鱼缸，缸壁很薄，其中心距离镜面 3R，缸中充满水。 远处一观察者通过球心与镜面垂直的方向注视鱼缸。 一条小鱼在离镜面最近处以速度 v 沿缸壁游动。 求观察者看到的鱼的两个像的相对速度。 水的折射率为 34n。 如图 （ a）， （ b） 解：鱼在 1 秒钟内 v2 v ABK 1 T 1 OvT 2BC DE F OK 2rRR RRU 1+_U 4+_ABCEGHU 2+_C 2博微物理 20 游过的距离为 v。 图 （ a） 我们把这个距离当作 物，而必须求出两个不同的像。 在计算中，我们只考虑近轴光线和小角度，并将角度的正弦用角度本身 图 （ b） 去近似。 在 T1 点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像，如图 （ a）所示。 从 T1 点以角度 r＝ ∠ A T1O 发出的光线，在 A 点水中的入射角为 r，在空气中的折射角为 n r。 把出射光线向相反方向延长，给出虚像的位置在 K1，显然 ∠ K1A T1＝ n r－ r＝（ n－ 1） r 从三角形 K1 T1 A，有： 1)1(111  nr rnAK TK 利用通常的近似： K1A≈K1O＋ R， K1AT1≈K1O－ R 于是 111  nROK ROK 所以这个虚像与球心的距离为 RnnOK  21 水的折射率 34n ，从而 K1O＝ 2R。 若折射率大于 2，则像是实像。 有像距与物距之商得到放大率为nnOT OK  211 对水来说，放大率为 2。 以与速度 v 相应的线段为物，它位于在 E 处的平面镜前的距离为 2R 处，它在镜后 2R 远的 T2处形成一个与物同样大小的虚像。 T2离球心的距离为 5R。 在一般情形 下，我们假设 T2O＝ kR。 T2处的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的（虚）物。 因此，我们只要确定 T2 的实像而无需再去考虑平面镜。 如图 （ b）所示。 我们需要求出以 r 角度从 T2发出的光线在 C 点的入射角 β，其中 r＝ ∠ CT2F。 在三角形 T2OC 中， kRkRCOOTr  2 β＝ k r 玻璃中的折射角为： C D OD C Onkrn  需要算出 ∠ DOB。 因为： ∠ COF＝ β－ r＝ k r－ r＝ r（ k－ 1） 而且 ∠ COD 与 C 点和 D 点的两角之和相加，或与 ∠ COF 和。