08高考试题分类07圆锥曲线(编辑修改稿)

08高考试题分类07圆锥曲线(编辑修改稿)内容摘要：

2 8． （湖南 19） (本小题 满分 13 分 ) 已知椭圆的中心在原点，一个焦点是 F(2,0)，且两条准线间的距离为λ (λ＞ 4). (Ⅰ )求椭圆的方程； (Ⅱ )若存在过点 A(1,0)的直线 l,使点 F 关于直线 l 的对称点在椭圆上，求λ的取值范围 . 解 （Ⅰ）设椭圆的方程为 221xyab(a＞ b＞ 0). 由条件知 c=2,且 22ac =λ ,所以 a2=λ , b2=a2c2=λ 22 1( 4 ).4xy  ＞ (Ⅱ )依题意，直线 l的斜率存在且不为 0,记为 k,则直线 l的方程是 y=k(x1).设点 F(2,0)关于直线 l 的对称点为 F2(x0,y0),则 00002( 1),22yxky kx  解得 0 20 22 ,12 .1x kkyk    因为点 F′ (x0,y0)在椭圆上，所以 2222( ) ( )11 即 λ (λ 4)k4+2λ (λ 6)k2+(λ 4)2=0. 设 k2=t,则λ (λ 4)t2+2λ (λ 6)t+(λ 4)2=0. 因为λ＞ 4,所以 2( 4)( 4)＞ 0. 用心 爱心 专心 9． （辽宁 21）． （本小题满分 12 分） 在 平面 直角坐标系 xOy 中，点 P到两点 (0 3)， ， (0 3)， 的距离之和等于 4，设点 P的轨迹为 C ． （ Ⅰ ）写出 C 的方 程； （ Ⅱ ） 设 直线 1y kx与 C 交于 A， B 两 点． k 为何 值 时 OA  OB。 此时 AB 的值是多少。 解：（Ⅰ）设 P（ x， y），由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以 (0 3) (0 3)， ， ， 为焦点，长半轴为 2 的 椭圆 ．它的短半轴 222 ( 3 ) 1b   ， 故曲线 C的方程为 22 14yx ． 4 分 （Ⅱ）设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ，其坐标满足 22 141.yxy kx ， 消去 y 并整理得 22( 4) 2 3 0k x k x   ， 故1 2 1 2222344kx x x xkk    ，． 6 分 OA OB ，即 1 2 1 2 0x x y y． 而 21 2 1 2 1 2( ) 1y y k x x k x x   ， 于是 2 2 21 2 1 2 2 2 2 23 3 2 4 114 4 4 4k k kx x y y k k k k         ． 所以 12k 时， 1 2 1 2 0x x y y，故 OA OB ． 8 分 当 12k 时，12 417xx，12 1217xx． 2 2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( 1 ) ( )A B x x y y k x x      ， 而 222 1 2 1 1 2( ) ( ) 4x x x x x x    23224 4 3 4 13417 17 17   ， 用心 爱心 专心 所以 4 6517AB  ． 12 分 10． （全国Ⅰ 22）（本小题满分 12 分） 双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 12ll， ，经过右焦点 F 垂直于 1l的直线分别交 12ll， 于 AB， 两点．已知 OA AB OB、 、 成等差数列，且 BF 与 FA 同向． （ Ⅰ ）求双曲线的离心率； （ Ⅱ ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方 程． 解：（ 1）设 OA m d， AB m ， OB m d 由 勾股定理 可得： 2 2 2( ) ( )m d m m d    得： 14dm ， tan bAOF a， 4ta n ta n 2 3ABA O B A O F OA     由倍角公式 22 431baba，解得 12ba 则离心率 52e ． （ 2）过 F 直线方程为 ()ay x cb  与双曲线方程221xyab联立 将 2ab ， 5cb 代入，化简有 221 5 8 5 2 1 04 xxbb   22 21 2 1 2 1 24 1 1 ( ) 4aax x x x x xbb                   将数值代入，有2 23 2 5 2 84 5 41 5 5bb 解得 3b 最后求得双曲线方程为：22136 9xy． 用心 爱心 专心 11． （全国Ⅱ 22）（本小题满分 12 分） 设 椭圆 中心在坐标原点， (2 0) (0 1)AB， ， ， 是它的两个顶点，直线 )0(  kkxy 与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E、 F 两点 ． （ Ⅰ ） 若 6ED DF ，求 k 的值； （ Ⅱ ） 求四边形 AEBF 面积的最大值 ． （ Ⅰ ）解：依题设得椭圆的方程为 2 2 14x y， 直线 AB EF， 的方程分别为 22xy， ( 0)y kx k． 2 分 如图，设 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( )D x k x E x k x F x k x， ， ， ， ，其中 12xx ， 且 12xx， 满足方程 22(1 4 ) 4kx， 故21 2214xx k   ． ① 由 6ED DF 知 0 1 2 06( )x x x x  ，得0 2 1 2 21 5 1 0( 6 )77 7 1 4x x x x k    ； 由 D 在 AB 上知 0022x kx，得0 212x k ． 所以22 1012 7 1 4k k  ， 化简得 224 25 6 0kk  ， 解得 23k 或 38k ． 6 分 （ Ⅱ ）解法一：根据点到直线的距离公式和 ① 式知，点 EF， 到 AB 的距离分别为2111 222 2( 1 2 1 4 )55 ( 1 4 )x k x kkhk   ， 2222 222 2( 1 2 1 4 )55 ( 1 4 )x k x kkhk   ． 9 分 又 22 1 5AB   ，所以四边形 AEBF 的面积为 121 ()2S AB h h 21 4 (1 2 )52 5(1 4 )kk  D F B y x A O E 用心 爱心 专心 22(1 2 )14kk  221 4 42 14kkk  22≤ ， 当 21k ，即当 12k 时，上式取等号．所以 S 的最大值为 22． 12 分 解法二：由题设， 1BO ， 2AO ． 设 11y kx ， 22y kx ，由 ① 得 2 0x ， 210yy  ， 故四边形 AEBF 的面积为 BE F AE FS S S△ △ 222xy 9 分 222( 2 )xy 222 2 2 244x y x y   222( 4 )xy≤ 22 ， 当 222xy 时，上式取等号．所以 S 的最大值为 22． 12 分 12． (山东 22．（本小题满分 14 分） 已知曲线1 1( 0)xyC a bab   ：所围成的封闭图形的面积为 45，曲线 1C 的内切圆半径为 253 ．记 2C 为以曲线 1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆． （ Ⅰ ）求椭圆 2C 的标准方程； （ Ⅱ ）设 AB 是过椭圆 2C 中心的任意弦， l 是线段 AB 的垂直平分线． M 是 l 上异于椭圆中心的点． （ 1）若 MO OA （ O 为坐标原点），当点 A 在椭圆 2。