08高考试题分类----数列(编辑修改稿)

08高考试题分类----数列(编辑修改稿)内容摘要：

等差数列 {}na 的各项均为正数， 1 3a ， 前 n 项和为 nS ， {}nb 为等比数列 , 1 1b ，且 2264,bS 33960bS ． (1)求 na 与 nb ； (2)求和：121 1 1nS S S  ． （ 1）设 {}na 的公差为 d ， {}nb 的公比为 q ，则 d 为正整数， 3 ( 1)na n d   ， 1nnbq 依题意有 23322( 9 3 ) 9 6 0( 6 ) 6 4S b d qS b d q      ① 用心 爱心 专心 解得 2,8dq 或65403dq  (舍去 ) 故 13 2 ( 1 ) 2 1 , 8 nnna n n b       （ 2） 3 5 ( 2 1 ) ( 2)nS n n n       ∴121 1 1 1 1 1 11 3 2 4 3 5 ( 2 )nS S S n n           1 1 1 1 1 1 1 1(1 )2 3 2 4 3 5 2nn          1 1 1 1(1 )2 2 1 2nn   3 2 34 2( 1)( 2)nnn  7． （湖南 20） 数列 na 满 足 ,2,0 21  aa 222 ( 1 c o s ) 4 s in , 1 , 2 , 3 , ,22nn nna a n     （ I）求 43,aa ，并求数列 na 的通项公式； （ II）设 1 3 2 1kkS a a a    ， 2 4 2kkT a a a   ， 2 ()2 kk kSW k NT ， 求使 1kW 的所有 k 的值，并说明理由。 解：（ I）因为 ,2,0 21  aa 所以 223 1 1(1 c o s ) 4 s in 4 4 ,22a a a      224 2 2(1 c o s ) 4 s i n 2 4 ,a a a    一般地 , 当 2 1( )n k k N = 时， 222 1 2 1 2 1( 2 1 ) 2 1[ 1 c o s ] 4 s in 4 ,22k k kkka a a        即 2 1 2 1 所以数列  21ka 是首项为 0、公差为 4 的等差数列， 因此 21 4( 1).kak  当 2 ( )n k k N= 时， 222 2 2 2[ 1 c o s ] 4 s in 2 ,22k k kkka a a      所以数列  2ka 是首项为 公比为 2 的等比数列，因此 2  用心 爱心 专心 故数列 na 的通项公式为22( 1 ) , 2 1 ( ) ,2 , 2 ( )nnn n k k Nan k k N       （ II）由（ I）知， 1 3 2 1 0 4 4( 1 ) 2 ( 1 ) ,kkS a a a k k k           212 4 2 2 2 2 2 2 ,kkkkT a a a         12 ( 1) .22kk kkS kkW T  于是 1 0,W 2 1,W3 3,2W 4 3,2W 5 5,4W 6 1516W. 下面证明 : 当 6k 时，  事实上 , 当 6k 时， 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 3 ) 0,2 2 2kk k k kk k k k k kWW       即 1 .kkWW  又 6 1,W 所以当 6k 时，  故满足 1kW 的所有 k 的值为 3,4,5. 8．（辽宁 20） （本小题满分 12 分） 在数列 ||na ， ||nb 是各项均为正数的等比数列，设 ()nn nba*N． （ Ⅰ ） 数列 ||nc 是否为等比数列。 证明你的结论； （ Ⅱ ） 设数列 |ln |na ， |ln |nb 的前 n 项和分别为 nS ， nT ．若 1 2a ，21nnS nTn ，求数列 ||nc 的前 n 项和． 解：（ Ⅰ ） nc 是 等比数列 ． 2 分 证明：设 na 的公比为 11( 0)qq ， nb 的公比为 22( 0)qq ，则 1 1 1 21 1 1 0n n n n nn n n n nc b a b a qc a b b a q     ，故 nc 为等比数列． 5 分 （ Ⅱ ）数列 lnna 和 lnnb 分别是公差为 1lnq 和 2lnq 的等差数列． 用心 爱心 专心 由条件得 1112( 1 )ln ln22( 1 ) 21ln ln2nnn a qnn nn b q ，即 11122 ln ( 1 ) ln2 ln ( 1 ) ln 2 1a n q nb n q n   ． 7 分 故对 1n ， 2 ，„， 21 2 1 1 1 2 1 1( 2 l n l n ) ( 4 l n l n 2 l n l n ) ( 2 l n l n ) 0q q n a q b q n a q       ． 于是 121 1 1 2112 l n l n 04 l n l n 2 l n l n 02 l n l n 0.qqa q b qaq   ， 将 1 2a 代入得 1 4q ， 2 16q ， 1 8b ． 10 分 从而有 118 16 424n nn nc． 所以数列 nc 的前 n 项和为 2 44 4 4 ( 4 1 )3nn    … ． 12 分 9． （全国Ⅰ 19）（本小题满分 12 分） 在数列 na 中， 1 1a ， 1 22nnnaa ． （ Ⅰ ）设12nn nab ．证明：数列 nb 是等差数列； （ Ⅱ ）求数列 na 的前 n 项和 nS ． 解：（ 1） 1 22nnnaa ， 1 1 122nnaa ， 1 1nnbb ， 则 nb 为 等差数列 ， 1 1b ， nbn ， 12nnan ． （ 2） 0 1 2 11 2 2 2 ( 1 ) 2 2nnnS n n      1 2 12 1 2 2 2 ( 1 ) 2 2nnnS n n      用心 爱心 专心 两式相减，得 0 1 12 1 2 2 2 2 2 1n n n nnS n n      ． 10． （全国Ⅱ 18）（本小题满分 12 分） 等差数列 na 中， 4 10a 且 3 6 10a a a， ， 成等比数列，求数列 na 前 20 项的和 20S ． 解：设数列 na 的公差为 d ，则 34 10a a d d   ， 64 2 1 0 2a a d d   ， 10 4。