三角函数的图象与性质(编辑修改稿)

三角函数的图象与性质(编辑修改稿)内容摘要：

上的最大 值为 g(x)max＝ 3sinπ6＝ 32 .(13 分 ) 第 7 讲 三角函数的图象与性质 1. 若 π4＜ x＜ π2，则函数 y＝ tan2xtan3x的最大值为 ________． 【答案】 － 8 解析：令 tanx＝ t∈ (1，＋ ∞ )， y＝ 2t41－ t2， y′ (t)＝－ 4t3t＋ 2t－ 21－ t22 得 t＝ 2时 y 取最大值－ 8. 2. 已知函数 f(x)＝ 2cos2x＋ sin2x. (1) 求 f π3 的值； (2) 求 f(x)的最大值和最小值． 解： (1) f π3 ＝ 2cos2π3 ＋ sin2π3＝－ 1＋ 34＝－ 14. (2) f(x)＝ 2(2cos2x－ 1)＋ (1－ cos2x)＝ 3cos2x－ 1， x∈ R. 因为 cosx∈ [－ 1,1]，所以当 cosx＝ 177。 1 时， f(x)取最大值 2；当 cosx＝ 0时， f(x)取最小值－ 1. 基础训练 1. π 奇 解析： y＝－ cos 2x－ π2 ＝－ sin2x. 2. 1 解析：在 [0，＋ ∞ )内作出函数 y＝ x， y＝ cosx的图象，可得到答案． 3. － 2＋ 1 解析： f(x)＝ 2cos2x＋ sin2x＝ 2sin 2x＋ π4 ＋ 1. 4. － 12 解析： f 7π6 ＝ f π6 ＝ f － π6 ＝ sin － π6 ＝－ 12. 例题选讲 例 1 解： (1) 根据三角函数定义得 sinθ＝ 32 ， cosθ＝ 12， ∴ f(θ)＝ 2.(本题也可以根据定义及角的范围得角 θ＝ π3，从而求出 f(θ)＝ 2)． 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话： 02583657815 Mail： (2) 在直角坐标系中画出可行域知 0≤ θ≤ π2， f(θ)＝ 3sinθ＋ cosθ＝ 2sin θ＋ π6 ， ∴ θ＝ 0，f(θ)min＝ 1； θ＝ π3， f(θ)max＝ 2. (注： 注意条件，使用三角函数的定义； 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为 y＝ Asin(ωx＋ φ)的形式 ) 例 2 解： (1)由题图可知： A＝ 2， T4＝ 712π－ π3＝ π4， ω＝ 2， 2 7π12＋ φ＝ 2kπ＋ 3π2 ， φ＝ 2kπ＋ π3， k∈ Z， f(0)＝ 2sin 2kπ＋ π3 ＝ 62 . (2) φ＝ π3， f(x)＝ 2sin 2x＋ π3 . 因为 0≤ x≤ π3，所以 π3≤ 2x＋ π3≤ π，所 以 0≤ sin 2x＋ π3 ≤ 1. 即 f(x)的取值范围为 [0， 2]． (注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及 y＝ Asin(ωx＋ φ)的图像与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题 ) 变式训练 已知 A为 △ ABC 的内角，求 y＝ cos2A＋ cos2 2π3 ＋ A 的取值范围． 解： y＝ cos2A＋ cos2 2π3 ＋ A ＝ 1＋ cos2A2 ＋1＋ cos2 2π3 ＋ A2 ＝ 1＋ cos2A2 ＋ 12 cos4π3 cos2A－ sin4π3 sin2A ＝ 1＋ 12 12cos2A＋ 32 sin2A ＝ 1＋ 12cos 2A－ π3 . ∵ A为三角形内角， ∴ 0＜ A＜ π， ∴ － 1≤ co。