高中数学圆锥曲线(含轨迹问题)(编辑修改稿)

高中数学圆锥曲线(含轨迹问题)(编辑修改稿)内容摘要：

－ 21＋ 4k21. 所以点 S 的坐标为  16k11＋ 4k21， 8k21－ 21＋ 4k21 . (若写成 “ 同理可得点 S 的坐标为  16k11＋ 4k21， 8k21－ 21＋ 4k21 ” 也可以 ) 所以 R、 S 关于坐标原点 O 对称， 故 R、 O、 S 三点共线，即直线 RS 过定点 O. 6. (2020扬州三模 )如图，已知椭圆 C： x2a2＋y2b2＝ 1(ab0)，点 A、 B 分别是椭圆 C 的左顶点和上顶点，直线 AB 与圆 G： x2＋ y2＝ c24 (c 是椭圆的半焦距 )相离， P 是直线 AB 上一动点，过点 P 作圆 G 的两切线，切点分别为 M、 N. (1) 若椭圆 C 经过两点  1， 4 23 、  3 32 ， 1 ， 求椭圆 C 的方程； (2) 当 c 为定值时，求证：直线 MN 经过一定点 E，并求 OP→ OE→ 的值 (O 是坐标原点 )； (3) 若存在点 P 使得 △ PMN 为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围． 解： (1) 令椭圆 mx2＋ ny2＝ 1，其中 m＝ 1a2， n＝ 1b2， 得 m＋ 329 n＝ 1，274 m＋ n＝ 1， 所以 m＝ 19， n＝ 14， 凤 凰出版传媒集团 版权所有 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话： 02583657815 Mail： 即椭圆为 x29＋y24＝ 1. (2) 直线 AB： x－ a＋ yb＝ 1， 设点 P(x0， y0)，则 OP 的中点为  x02， y02 ， 所以点 O、 M、 P、 N 所在的圆的方程为  x－ x02 2＋  y－ y02 2＝ x20＋ y204 ， 化简为 x2－ x0x＋ y2－ y0y＝ 0， 与圆 x2＋ y2＝ c24作差，即有直线 MN： x0x＋ y0y＝c24 . 因为点 P(x0， y0)在直线 AB 上，所以 x0－ a＋ y0b＝ 1， 所以 x0 x＋ bay ＋  by－ c24 ＝ 0， 所以 x＋ bay＝ 0，by－ c24＝ 0，得 x＝－ c24a， y＝c24b， 故定点 E － c24a，c24b ， OP→ OE→ ＝  x0， bax0＋ b  － c24a，c24b ＝c24. (3) 直线 AB 与圆 G： x2＋ y2＝ c24(c 是椭圆的半焦距 )相离， 则 aba2＋ b2＞ c2，即 4a2b2＞ c2(a2＋ b2)， 4a2(a2－ c2)＞ c2(2a2－ c2)， 得 e4－ 6e2＋ 4＞ 0＜ e＜ 1，所以 0＜ e2＜ 3－ 5.① 连结 ON、 OM、 OP，若存在点 P 使 △ PMN为正三角形，则在 Rt△ OPN 中， OP＝ 2ON＝ 2r＝ c，所以 aba2＋ b2≤ c， a2b2≤ c2(a2＋ b2)， a2(a2－ c2)≤ c2(2a2－ c2)， 得 e4－ 3e2＋ 1≤ 0. 因为 0＜ e＜ 1，所以 3－ 52 ≤ e2＜ 1.② 由 ①② ，得 3－ 52 ≤ e2＜ 3－ 5，所以 5－ 12 ≤ e＜ 10－ 22 . 基础训练 1. 3 或 253 2. 32 3. 2 6＋ 4 4. [ 2－ 1,1) 解析： ∵ PF1PF2＝ e, ∴ PF1＝ ePF2＝ e(2a－ PF1)， PF1＝ 2ae1＋ e， 又 a－ c≤ PF1≤ a＋ c， ∴ a－ c≤ 2ae1＋ e≤ a＋ c， a(1－ e)≤ 2ae1＋ e≤ a(1＋ e)， 1－ e≤ 2e1＋ e≤ 1 凤 凰出版传媒集团 版权所有 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话： 02583657815 Mail： ＋ e，解得 e≥ 2－ 0＜ e＜ 1, ∴ 2－ 1≤ e＜ 1. 例题选讲 例 1 解： (1) 由已知得 c＝ 2 2， ca＝ 63 .解得 a＝ 2 3，又 b2＝ a2－ c2＝ 4. 所以椭圆 G 的方程为 x212＋y24＝ 1. (2) 设直线 l的方程为 y＝ x＋ m. 由 y＝ x＋ m，x212＋y24＝ 1，得 4x2＋ 6mx＋ 3m2－ 12＝ 0.① 设 A、 B 的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)(x1x2)， AB 中点为 E(x0， y0)， 则 x0＝ x1＋ x22 ＝－ 3m4 ， y0＝ x0＋ m＝ m4；因为 AB 是等腰 △ PAB 的底边， 所以 PE⊥ PE 的斜率 k＝2－ m4－ 3＋ 3m4＝－ m＝ 2. 此时方程 ① 为 4x2＋ 12x＝ x1＝－ 3， x2＝ y1＝－ 1， y2＝ 2. 所以 |AB|＝ 3 ，点 P(－ 3,2)到直线 AB： x－ y＋ 2＝ 0 的距离 d＝ |－ 3－ 2＋ 2|2 ＝ 3 22 ，所以 △ PAB 的面积 S＝ 12|AB|d＝ 92. 例 2 解： (1) 由题意，设椭圆 C： x2a2＋y2b2＝ 1(a＞ b＞ 0)，则 2a＝ 4 3， a＝ 2 3. 因为点 (2 2， 1)在椭圆 x2a2＋y2b2＝ 1 上，所以812＋1b2＝ 1，解得 b＝ 3， 故所求椭圆方程为 x212＋y23＝ 1. (2) 如图设 A(x1， y1)， B(x2， y2)(y1＜ 0， y2＞ 0)． 点 F 的坐标为 F(3,0)． 由 AF→ ＝ 3FB→ ，得 3－ x1＝ 3x2－ 3，－ y1＝ 3y2， 即 x1＝－ 3x2＋ 12，y1＝－ 3y2， ① 又 A、 B 在椭圆 C 上， 凤 凰出版传媒集团 版权所有 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话： 02583657815 Mail： 所以 － 3x2＋ 12212 ＋－ 3y223 ＝ 1，x2212＋y223＝ 1， 解得 x2＝ 103 ，y2＝ 23 . 所以 B 103 ， 23 ，代入 ① 得 A点坐标为 (2，－ 2)． 因为 OA→ AB→ ＝ 0，所以 OA⊥ AB. 所以过 O、 A、 B 三点的圆就是以 OB 为直径的圆， 其方程为 x2＋ y2－ 103。